离散等级种群系统的能控性与最优控制

何泽荣,王晶晶

(杭州电子科技大学运筹与控制研究所,浙江杭州310018)

§1 引 言

与连续时间模型相比较,离散时间模型在描述生物种群的演化进程方面具有独到的优越性.一是因为数据采集过程通常都是离散的;二是因为计算方便.即使应用连续模型进行模拟,第一步也要进行离散化处理.相关研究工作可参见文献[1-3].

绝大多数生物种群内部的个体之间存在等级地位差异,已是不争的事实.尽管其生态学研究已经趋于完善(见综述性论文[4]),但其定量化的数学模型研究仍处于起步阶段,参见文[5-21].在现存的工作中,以离散模型为基础的研究报道很少,参见文[6].该文主要关注种群内部抢夺竞争(Scramble competition)与对抗竞争(Contest competition)之间的比较.

本文的研究以高维非线性差分方程组描述种群演化进程,主要关注种群状态调控,以及种群(作为一种可再生资源)的最优收获问题.前者希望通过对种群幼体的数量调节达到调控整个种群分布的目的;后者在确保种群持续生存的前提下,对资源实施科学开发,实现最大收益.

§2 状态系统

假设:种群中的所有个体按照等级分为m个组,在第n个时间段结束时第i组的个体数记为xi(n).第1组中的个体为幼体,无繁殖能力.第i组个体的繁殖率依赖于等级不超过i的个体总数(i≥2).一个单位时间段后,个体结局有三:进入下一个等级,留在原组,或者死亡.由此可得如下种群控制系统

其中a1i,i≥2表示第i组个体繁殖系数,β表示新生个体的存活率,表示第n时间段内第i组个体的繁殖率;ai,i−1,i≥2表征单位时间段内第i−1组个体进入第i组的概率,aii(i≥1)是单位时间内第i组个体仍属该组的概率.控制变量u(n)表示对幼体的迁移,满足|u(n)|≤¯u,希望通过调节幼体数量达到调控种群分布的目的.对于鱼类(树林)而言,u(n)>0表示鱼(树)苗的投放(种植),u(n)<0表示移出.

§3 近似能控性

本节分析系统(1)的能控性,其定义如下.

其中#表示正数.于是,rank(W)=m,线性系统精确能控.根据引理3.1即知:非线性系统(1)近似能控.

§4 最优收获策略

本节分析种群资源的最优收获问题.

§5 数值实验

本节利用LINGO软件对于最优收获问题进行数值模拟.主要目的是探索模型参数(经济价值σi,等级变化率aii)对最优策略和最优收益的影响.

例5.1选取参数m=5,a11=a14=a55=0.5,β=2,a12=0.7,a13=0.8,a15=a21=a33=a43=0.4,a22=0.2,a32=a44=0.6,a54=0.3.

给定初始值x1(0)=25,x2(0)=x3(0)=20,x4(0)=x5(0)=15.

1)固定σ2=σ3=5,σ4=6,σ5=1.随着σ1取值变化可得下列计算结果.

表5.1 σ1=0.01

表5.2 σ1=0.1

表5.3 σ1=1

表5.4 σ1=10

表5.5 σ1=20

由上述数据可见:随着σ1的增大,第一小组的收获强度随之增大,经济效益也增大.但最优收获总是为aii或为0.

此外模拟实验表明:其它σi的变化会导致类似现象.

2)固定σ=(1,5,5,6,1),考察a11增大时对最优收获策略和最优收益的影响.

表5.6 a11=0.01

表5.7 a11=0.1

表5.8 a11=0.3

表5.9 a11=0.5

由上述数据可得:随着a11的增大,经济收益逐渐增大;当a11较小时,最优收获策略为全部收获;随着a11的增大,最优收获策略为第一小组第一时刻不收获,其余时刻和剩余小组全部收获.最优收获为aii或0.

其它aii,i=2,···,5的变化也会产生类似现象.

特别说明:上述结论是从数值实验导出的,直观上并不明显.因为模型参数、最优收获比例、最优种群分布和最优收益之间由复杂关系式(4)-(7)确定,严格的理论分析很困难.是否作为普遍法则,还有待深入研究.