k阶记录值的一些Extropy性质

张 虹, 邱国新,2

(1.安徽新华学院商学院,安徽合肥230088;2.中国科学技术大学管理学院,安徽合肥230026)

§1 引 言

文献[1]最先提出k阶记录值模型.该模型在很多领域都有应用,例如:在可靠性理论中,一个k/n系统是指至少有k个元件在正常工作时,系统才能工作正常.所以一个k/n系统的寿命可以通过容量为n的样本对应的第n−k+1阶序统计量来刻画.类似的,文献[2]指出k/Un,k系统的寿命可以通过第n个k阶上记录值来刻画,其中Un,k表示k阶上记录时间,下文将有具体定义.又比如,在精算领域,常常要考虑一组随机变量序列中第二大或者第三大的那个变量,此时,k阶记录值模型也会有用武之地.感兴趣的读者可以参阅专著[3],来寻找k阶记录值模型的更多性质与应用.

从信息论角度考察k阶记录值,不仅在理论上,而且在应用上很有价值.不少文献从事这方面的研究,取得了一些意想不到的结果.例如,文献[4]以熵为工具,证明了来自不同样本序列k阶记录值熵的相等性,等价于总体分布的相同性.另外,该文献还证明:指数分布可以通过一定范围内k阶记录值熵的最大化来刻画.文献[5]提出一个新的信息度量,称作Extropy,该度量与熵度量紧密相连,但又有自己的独到之处.文献[6]最先考察了k阶记录值的一些Extropy性质,随后,文献[7]从剩余Extropy角度,对k阶记录值做了进一步考察.考虑到k阶记录值在很多领域有应用,本文继续考察k阶记录值的Extropy性质,将证明k阶记录值Extropy的对称性,单调性,以及等价刻画性质.

§2 预备知识

为叙述方便,本节给出本文用到的一些概念的定义,以及证明本文主要定理时用到的一些引理.先给出k阶记录值的定义.

§3 对称性和单调性

由例2.1发现,对(0,1)上均匀分布的随机变量,k阶上记录值的Extropy等于k阶下记录值的Extropy.下面的定理给出本结论的一个推广.

§4 等价刻画