函数视角下对“图形运动”的思考

毛亚玲

[摘  要] 在函数概念体系下，“图形运动”课分别设计了图形“平移”概念课、“轴对称”性质课、“旋转”习题课三种课型，引导学生将“运动”与“对应”建立一一对应关系，让学生感受函数思想指导下图形运动规律的思维体系.

[关键词] 函数思想;图形运动;一一对应

与图形运动相关的问题因其灵活多变，所以在中考中颇受出题者的青睐. 相应的与图形运动相关的解题类文章种类繁多，大多侧重于各类模型的解密、解法的提炼与推广. 而关于图形运动教学类的文章则零散、碎片，对三种运动方式——平移、轴对称、旋转的理解如何才能上升到逻辑一体的程度，还有待挖掘. “平移、轴对称、旋转”是三种有规律的运动，而函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，从函数变化的角度去理解图形运动是一次对数学教材“体系”认知的新尝试，是一次追求本质的数学教学过程.

我们把图形运动看成是一个变化过程，那这个变化过程的本质是点的运动. 相关阐述如下：对于运动前的每一个点A来说，运动后都有唯一的点A′与它对应;由于图形运动的可逆性，运动后的每一个点A′也都有唯一的点A与之对应，所以我们说A和A′是图形运动中的一一对应点.

下面笔者从挖掘教材中的实验素材出发，围绕函数的概念，谈谈对“平移、轴对称、旋转”的教学思考.

概念教学：唯一确定，一一对应

图形的运动“平移、轴对称、旋转”是将平面图形实施图形变换，概念的形成过程就是如何定义图形变换的过程. 那图形从一个位置到另一个位置，图形上的点从X到X′，是如何做到“唯一确定”“一一对应”的呢？

案例1？摇 苏科版课标教材七年级下册“7.3 图形的平移”中的素材：如图1，移动三角尺ABC到三角尺A′B′C′的位置，得到一组平行线 AB和A′B′. 如图2，画出线段AB向左平移4格后得到的线段A′B′.

问题1：在图1中，如果把直尺去掉，将三角尺ABC移动8 cm，你能确定移动后的三角尺A′B′C′的位置吗？

追问：如何保证移动后的三角尺A′B′C′的位置只有一个？

问题2：请用数学语言描述图1中三角尺ABC是如何移动到三角尺A′B′C′的位置的.

追问1：直尺和8 cm的含义是什么？

追问2：说说图形平移的概念.

问题3：请说出图1中点B和点B′、点A和点A′的关系.

追问：依据是什么？为什么是一样的？

问题4：在图2中去掉方格纸后，画出AB向左平移4个单位长度后得到的A′B′.

追问：画法的依据是什么？

设计意图  图形平移概念中的两个要素——方向和距离是如何提炼、概括出来的？“问题1”通过减少条件“把直尺去掉”，让学生感受到了平移之后的位置不能确定，接着利用唯一确定，由“问题2”从数学语言入手得到图形平移的概念. 图形平移和点的平移的关系是整体和局部的关系. “问题3”用整体去验证局部，反之，“问题4”用局部还原整体，还原的过程相当于利用“对应要素”（方向、距离）找对应点的过程. 这种函数思维方式能使学生对图形运动的理解达到一定的深度. 同样的，对于轴对称、旋转的概念课，教学也是如此.

性质教学：对应元素、对应要素

案例2？摇 苏科版课标教材八年级上册“2.2 轴对称的性质”中的素材：如图3，仿照上面的操作（沿l对折纸片，扎孔，展开后标记为点A和点A′），在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个針孔为点B、点B′，连接BB′，AB，A′B′，BB′与折痕l有什么关系？再仿照上面的操作，扎孔、展开、标记、连线，图4中的CC′与折痕l有什么关系？？摇

问题1：在图3中，轴对称的性质是指研究什么？

问题2：同样的，从局部看轴对称的性质是研究什么之间的关系？

追问：如何研究？不变性如何体现？

问题3：我们数学上的关系通常是指“位置关系”和“数量关系”. 从这两个角度说说BB′与对称轴l之间的关系.

追问：能证明吗？请用文字语言阐述上述结论.

问题4：我们已经得到一组对应点的性质，接下来，我们可以继续研究两组对应点的性质. 在图3中，线段AB和A′B′与折痕l之间有什么关系？

追问：你会证明吗？请用文字语言阐述这一性质.

问题5：除了对应点、对应线段的性质，接下来还能研究什么？

设计意图？摇 研究轴对称的性质，即研究轴对称运动中的不变性. “问题1”是从整体图形看，“问题2”是从局部对应点来看，从而揭示本质. “追问”中不变性的探索依赖于核心概念里的“对应要素”. 对于轴对称而言，这个“对应要素”就是对称轴，通过研究对应元素BB′与对称轴l之间的关系去体现不变性. “问题3”则通过不断的追问得到轴对称的性质便显得顺理成章. “问题4”“问题5”的提出是遵循研究问题的有序性原则，由一组对应点到两组，甚至更多……研究对应元素与“对应要素”之间的关系，这种研究性质的经验可以顺延到“图形旋转”的教学当中，这对学生在后续图形运动的学习中发现规律性、统一性大有帮助.

解题教学：主动从动，特殊一般

图形旋转的问题往往伴随着动点问题，其中的轨迹路程、线段最值问题都是学生较难攻克的. 下面以旋转动点最值问题为例，尝试运用函数运动观点，化繁为简，揭示旋转的本质.

案例3？摇 （1）如图5，直线MN⊥AB，垂足为A，AB=2，点C在直线MN上运动. 将点C绕点B顺时针旋转60°后得到点D，求AD的最小值.

问题1：点C在直线MN上运动，任选C的三个位置，画出旋转之后点D的三个位置. 你发现了什么？

追问1：如图6，你能证明点D的轨迹是直线吗？

追问2：你能画出AD的最短距离吗？

问题2：如图7，已知直线MN与点B，点C在直线MN上运动. 如果点C绕点B顺时针旋转α（0°<α<90°）后得到点D，从对应的角度你能得到点D的轨迹吗？

（2）如图8，AB=4，O为AB的中点，☉O的半径为1. 点C是☉O上的一个动点，以CB为直角边作等腰直角三角形CBD（点C，B，D按逆时针方向），求AD的取值范围.

问题3：请讨论点D的轨迹是通过何种途径形成的.

问题4：如图9，运用（1）的经验，你能得到点D的轨迹吗？

追问：请画出AD取得最大值和最小值时的位置.

设计意图？摇 这类图形旋转问题是近几年比较热门的“瓜豆原理”问题. （1）问求AD 的最小值，可转化为求点D的运动轨迹. 通过“问题1”，直观观察为直线. “追问1”的探究用整体旋转得到点C的对应点D的运动轨迹：将△ABC绕点B顺时针旋转60°，A，C的对应点分别为A′，D，∠BA′D=90°，A′B=2，则点D在与点B的距离为2的直线上，从而可证点D的轨迹是直线. “追问2”则将AD距离的最小值转化为点到直线的距离. 在一般化的“问题2”中，局部来看，C是点，整体来看，C点就是直线MN，C点的旋转就是直线MN的旋转，由一一对应得到D的轨迹是直线，那如何画出点D的轨迹呢？如图7，利用局部特殊位置还原整体，当C是垂足时，垂足C对应垂足D，于是确定旋转之后的直线DE. （2）问中“问题3”描述轨迹的形成时要认清“对应要素”（旋转、位似），而“问题4”是“问题2”的变式，点C在“对应要素”（旋转、位似）的作用下一一对应到点D. 如图9，相应地，整体上看，就是☉O对应☉O′，圆心O按照“对应要素”（以OB为直角边作等腰直角三角形OBO′）找到对应圆心O′，利用旋转相似有△DBO′∽△CBO，从而有 = = .由此确定☉O′的圆心和半径. 同样地，“追问”转化AD长度的取值为圆外一点到圆上点的距离最值问题. 解题是概念和性質的最终应用，函数的对应思想能将此复杂题型破解.

结束语

函数的概念是中学数学中最基本、最重要的概念，而“平移、轴对称、旋转”是初中数学学习中最常见的图形变换. 运用函数概念这个普适性描述运动变化的方式去理解“平移、轴对称、旋转”的运动，能帮助学生认清客观世界中的“位置关系”“数量关系”的产生过程，这是一种“全局”的数学思维方式. 初中阶段的学生仍处于“直觉”思维到“理性”思维的成长期，需要教师用好教材中的活动素材去引导，让他们在体验、经历中揭示运动的变化规律，领悟到用运动变化的眼光看世界的真谛.