用函数思想指导高中数学解题

杨晓君

【摘 要】函数思想以函数性质和理念作为出发点，对分析和解决数学问题具有重要作用。在数学思想中，函数思想是非常重要的一个部分，教师想要提高课堂效率和教学水平，就必须用函数思想指导解题。本文将具体探讨应用函数思想指导高数数学解题的实践，希望给相关人士提供一些参考。

【关键词】函数思想；高中数学；解题

引 言

高中数学思想方法包括两类，即知识性的数学方法和思维性的数学方法。在知识性的思维方法中，最重要的就是函数思想。所谓的函数思想，就是以函数的观点去分析数学问题、解决数学问题，帮助学生形成数学建模的思想观念。在高中数学的教学内容中，函数板块是教学的核心，因此将函数思想应用于高中数学解题势在必行。

一、用函数思想指导高中数学的方程式问题

高中数学的方程式问题，主要是将不等式中的未知数解出，虽然方程式和函数的概念有较大的差异性，但是二者之间也存在着密切联系。当我们用一个解析式来表示函数的时候，函数可以等同于方程。因此把函数思想应用在方程式问题的解题中，可以把函数作为一个方程，且方程的函数量为零。这样做题可以把复杂的知识简单化，达到举一反三的目的[1]。将方程问题转化成为函数问题之后，方程中未知数的解，实际上就是函数图像的交点。

比如，在解答方式式问题的过程中，具体分为两种解答方法。第一种方法是针对简单题目而言的，有直接求解的方程方法，但是耗费的解题时间比较多，而且解答的难度也相对较大。第二种方法是针对复杂题目而言的，是将方程问题转换呈函数问题的方法，在解答的过程中需要应用函数思想，对函数的图像和性质进行分析，最终求出方程的解，也就是函数图像的交点。

二、用函数思想指导高中数学的不等式问题

函数是用来表述两个变量关系的数学模型，因此在解决不等式问题中发挥着很大的指导作用。函数在不同的区间有着不同的正负关系，将函数的正负放在不等式中，可以有效解决不等式的问题。

以下面这道题目为例：p是一个实数，且p大于等于0，小于等于4，那么x2+px+3大于4x+p恒成立，求x的取值范围。我们在分析这道题目的时候，习惯以x作为自变量，构成一个y的函数，求出的结果是y=x2+（p-4）x+3-p。从题目条件中已知P大于等于0，小于等于4，y大于0恒成立，求x的范围，此时可以应用函数的有关思想，利用二次方程区间实根分布来解决数学问题，但是这个过程比较复杂。如果设函数为（x-1）p+（x2-4x+3），且这个函数大于0，当p大于等于0小于等于4时恒成立，那么对于这个一次函数来说，只需保证大于0而且小于4即可，最终求出的x范围是（-∞，-1）U（3，+∞）。

三、用函数思想指导高中数学的数列问题

高中数学的数列问题多是以一组按照顺序排列的数字作为对象，而且其中的每个数字都是数列之中的项，在解决高中数列的问题时，可以把数列问题看成项数的函数问题，那么数列的通项公式就变成了函数公式[2]。在解答高中数学问题的过程中，应用函数思想解决数列问题，可以把函数的性质作为解题依据，将复杂的解决过程简单化，提高做题效率。

以下面的题目为例：等差数列的前n项和等于m，m项和即Sm=n，且m不等于n，那么m+n项的和，即Sm+n应该是多少。在这道题目中应用函数思想，首先要理解等差数列前n项和满足的关系式。从函数的角度来看，这是一个必过原点的二次函数，因此在解题的过程中可以设Sn=An2+Bn，则Am2+Bm=n，An2+Bn=m。将两个式子进行相减，最终可以得出A（m+n）+B=-1，因此A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），最終求出来的结果是Sm+n=-（m+n）。在这道题目的解答中，主要是应用了等差数列求和公式是二次函数的函数思想，把A（m+n）+B看成一个函数，这样可以简化计算步骤，有效解答难题。

四、用函数思想指导高中数学的优化问题

函数思想在高中数学的实际优化问题解答中也具有重要作用，可以解决实际问题，为数学问题提供简单化和系统化的解答方法。在我们的实际生活中，存在许多量和量之间的相互关系，如路程问题，要考虑路程、时间、速度的关系，如生产问题，要考虑单价、时间、总数的关系，而其他的价格问题、采购问题等实际问题，也都涉及了函数的变量。在高考的数学试卷中，实际问题占有很大的比值，用函数思想来指导高中数学的实际优化问题，可以引导学生正确地解答题目。

比如，以路程问题为例，我们在解答路程问题时，可以把总路程设为y，把其中的时间变量或是速度变量设为x，让实际问题的解答成为函数问题的解答。通过数量的相互关系，建立一个基本的数学模型，然后再代入其中的数值，利用相关知识求出结果[3]。大部分的数学实际问题在解答时都要利用函数的图像进行分析，因此在做题时可以把变量关系以图像的形式描绘出来。在求出结果后，要把结果代入到实际问题中去，有很多问题在解答之后有两个结果，此时要根据题目的要求筛选出最合适的结果。

结 论

函数思想是数学思想中的重要思想，对锻炼数学思维，提高数学学习水平具有重要作用，将函数思想应用于高中数学的解题中，可以提高解题效率，提升数学成绩。因此高中数学教师应该在解答方程式问题、不等式问题、数列问题和实际优化问题时应用函数思想，让学生对这种思想有更好的掌控能力。

参考文献：

[1]韩云霞，马旭.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[N].宁夏师范学院学报，2016，03：92-95.

[2]浦佩华.高中数学解题中如何运用函数思想[J].数理化学习（高三版），2015，05：3-4.

[3]邹丽丽.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2014，22：6.