不等式问题求解中的常见误区分

◇ 刘 洋

“会而不对，对而不全”是解答不等式问题中常见现象，出现此类情况，除了计算出错外，主要原因是忽视性质定理成立的条件、问题类型混淆、变形不等价、考虑问题不全面等.下面就不等式问题的求解中经常出现的误区进行分析.

1 忽视性质、定理成立的条件

数学中的性质、定理都存在其适用的条件，解题中如果没有考虑这些条件，而盲目应用，则容易出现错解.

错因分析均值不等式的应用中应具备“正、定、等”三个条件.在上述求解方法中，将函数变形后虽然具备“正、定”两个条件，但等号成立的条件并不存在，故最小值取不到4.

此类情况可借助“对号”函数的性质求解.

在应用均值不等式求最值时，若不满足正或定的条件，可通过提取负号、添项、拆项等变形方式，构造出符合条件的结构.

2 混淆问题的类型

某些不等式问题，虽然形式相似，但本质不同，求解中如果不注意区别，则容易出现错解.

例2(1)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]内恒成立，则a的取值范围是_________.

(2)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0的解集为[1，2]，则a的值为_________.

(3)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]内有解，则a的取值范围是________.

错解本例中的三个问题，形式相近，因此部分学生将其视为相同的问题，采用相同的处理方法，即

错因分析问题(1)属于不等式恒成立，问题(2)属于不等式恰成立，问题(3)属于不等式能成立，三类问题形似质异.上述解法只适用于问题(1).对于问题(2)和(3)可采用如下方法处理.

(2)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0的解集为[1，2]，则1和2为方程x2＋(a－4)x＋4－2a＝0的两个根，故由根与系数的关系得4－a＝3，解得a＝1.

(3)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]内有解，则有f(1)≤0或f(2)≤0，又f(2)＝0恒成立，所以a的取值范围是R.

另外，对于不等式恒成立、能成立问题，也可通过求函数的最值来处理，求解方式包括直接求最值或分离参数后求最值.

3 遗漏隐含条件

充分利用题目所给的已知条件是顺利、准确解题的关键.题目条件有些是直接的，有些是隐含的，对于隐含条件，则需要我们透彻挖掘.

三角函数是周期函数，同一函数值与多个自变量的值对应，处理此类问题时要仔细分析，避免漏解.

4 变形不等价

“化归转化”是解答数学问题的重要思想，不等式问题也不例外，转化的方向是陌生化熟悉、烦琐化简捷、未知化已知等.在转化的过程中如果出现变形不等价，则容易出现错解.

例4若不等式ex－t(x＋1)≥0恒成立，则t的取值范围是________.

综上，t∈(－∞，1].

错因分析本题属于不等式恒成立问题，上面的解法中采用了分离参数法，此方法是解答不等式恒成立问题的常用方法.错解的原因是在参数分离的过程中变形不等价，即在不等式两边同除x＋1时，没有考虑其正负.

若x＝－1，不等式ex－t(x＋1)≥0恒成立.若x＞－1，则原不等式等价于

若x＜－1，则原不等式等价于因为，故t≥0.

综上，t的取值范围是[0，1].

当然本题也可直接利用导数求不等式左侧函数的最值，此处不再赘述.

5 忽视对不同情况的讨论

与不等式有关的问题中常涉及多个变量，而这些变量的范围往往并未明确给出，因此问题的求解中要对变量的可能取值进行分类讨论，讨论中要做到分类视角明确、不重不漏.

例5已知p＋q＞0，证明(n为偶数).

错解将欲证不等式作差变形得

因为n为偶数，所以(pq)n＞0，pn－qn和pn－1－qn－1的符号相同，所以

错因分析因为条件中只给出p＋q＞0，而p，q的正负情况是不确定的，所以当n为偶数时，pn－qn和pn－1－qn－1的符号可能不同，因此要分p＞0，q＞0以及二者中有一个为负的情况进行讨论.

将欲证不等式作差变形得

当p＞0，q＞0时，(pq)n＞0，(pn－qn)(pn－1－qn－1)≥0，所以

当p，q中有一个为负值时，不妨设p＞0，q＜0，因为p＋q＞0，所以p＞|q|.又因为n为偶数，所以(pq)n＞0，(pn－qn)(pn－1－qn－1)≥0，所以

总之，在不等式问题的求解中遇到的易错点不只是本文所述情况，同学们在平时的解题训练中要注意归纳总结易错点，找到错误根源，方可以不变应万变.