岁月回眸看历史，文化考题显素养——由2020年高考试题再看数学文化

◇ 杨 茂

0 引言

数学文化是国家素质文化教育的重要组成部分，其内涵是一种理性思维方法在不断探索和实践过程中形成的数学史、数学精神，应用“体现数学文化的价值”是新课标的基本理念之一，数学试题的命制也体现着新课标的理念.近年来，以“数学文化”为背景的试题成为高考命题中一道靓丽的风景线，纵观2008—2018年试题，多以著名的数学问题、著名的公式、定理、图形为中心，将数学知识、原理和方法融于一体，突出对数学思想方法的考查.强调数学的文化价值、蕴含浓厚数学文化气息的高考试题的出现，不仅给高考数学命题的工作注入了新鲜的血液，也为高中数学教学提供了鲜活的素材，有力地推动着培养“核心素养”的全面落实.2019年全国卷Ⅰ第4题，以断臂维纳斯雕像为例，探讨黄金分割之美，将美的文化融入数学中，成为人们津津乐道的话题.再观2020年试题中的“数学文化”，同样给人一种耳目一新的感觉，数学不只有公式、定理和无休止的运算，它还蕴含人文素养、理性精神、思想方法.

1 试题赏析

例1(北京卷10)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达方式是( ).

【试题背景】本题关注数学史上具有里程碑意义的无理数，在中国传统的“割圆术”基础上介绍数学家的计算方法，树立文化自信，进行价值观的渗透.试题内容紧扣课标和教材，体现数学的本质，引导教学回归数学本质，回归学生的基础.本题根据教材中提到的“割圆术”(《必修3》第45页)的部分思想改编而成，以2020年3月14日全球首个国际圆周率日为背景，结合中国优秀传统数学文化中的“割圆术”及近代数学史上西方的阿尔·卡西法，感悟数学“近似计算”之美，将美育教育融入数学教育.

阿尔·卡西在《圆周论》中详细地介绍了计算圆周率的方法.在卡西之前，圆周率的最精确数值是由我国南北朝时期的科学家祖冲之在公元462年发现的，他算出圆周率π的范围是3.141 592 6＜π＜3.141 592 7，这对数学的研究有重大贡献.一直到1424年，卡西才打破了这个记录.卡西所使用的方法仍然是求圆内接和外切多边形的周长.他从正六边形开始，逐渐使边数加倍，这一点和阿基米德、刘徽的方法是一样的，但是计算过程各有千秋.卡西通过自己的方式一直算到圆的内接正3×228边形的周长，同样又算出了圆的外切正3×228边形的周长，最后取二者的算术平均数作为圆周长的近似值，然后再算出π，最后卡西得出的圆周率的值为π＝3.141 592 653 589 793 25，这才打破了祖冲之保持了900年的记录.

本题考查了圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长是解答的关键，重点考查了学生的计算能力，属于中等题.

【姊妹题】我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法.其理论依据是设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为是x更精确的不足近似值或过剩近似值.已知π＝3.141 59…，令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为_________.

答案

例2(山东卷4)日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的维度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的维度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( ).

图1

A.20° B.40°

C.50° D.90°

【试题背景】日晷计时的原理：在一天中，被太阳照射到的物体投下的影子在不断地改变，首先，影子的长短在改变，早晨和晚上的影子最长，随着时间的推移，影子先逐渐变短，过了中午它又重新变长；其次是影子的方向在改变，在北半球，早晨的影子在西方，中午的影子在北方，傍晚的影子在东方.

从原理上来说，根据影子的长度或方向都可以计时，但根据影子的方向来计时更方便一些，故通常都是以影子的方位计时.由于日晷必须依赖日照，不能用于阴天和黑夜.因此，单用日晷来计时是不够的，还需要其他种类的计时器(如水钟)来与之相配.

人类使用日晷的时间非常久远，古巴比伦人在远古时代的6 000年前就开始使用了，中国可追溯到3 000年前的周朝.日晷不但能显示一天之内的时刻，还能显示节气和月份.当然它的缺点也是显而易见的，笨重而且看不到阳光的时候不能用，比如阴天和晚上.

中国最早的可靠记载是《隋书·天文志》中提到的袁充于594年(隋开皇十四年)发明的短影平仪(即地平式日晷).赤道日晷的明确记载初见于南宋曾敏行的《独醒杂志》卷二中提到的晷影图.

画出截面图，如图2所示，其中CD是赤道所在平面的截线，l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l，AB是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理，可知m∥CD.根据线面垂直的定义，可得AB⊥m.

图2

由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于

∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE＝40°.故选B.

本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体的有关计算，涉及平面平行、线面垂直的性质，属于中档题.

【姊妹题】日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”.其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久.下图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为( ).

图3

答案D.

图4

例3(全国卷Ⅰ3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ).

【试题背景】胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔，这座塔高146.59 m，由于风化，塔顶因风化而被大约削掉了10 m，现在是136.5 m，相当于一栋40层楼的高度.塔身由230万块巨石组成，每块巨石重1.5吨到160吨不等，塔重约684万吨，是埃及发现的70多座金字塔中最大的一座.另外，胡夫金字塔是一个几乎实心的巨石体，把这些大石块沿着金字塔内的螺旋路径向上运送，然后一层一层地堆积起来，当埃菲尔铁塔还没有建成时，胡夫金字塔是世界上最高的建筑.

图5

如图5所示，设CD＝a，PE＝b，则

本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，重点考查学生的数学计算能力，是一道简单题.

例4(全国卷Ⅱ理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有( )扇面形石板(不含天心石).

A.3 699块 B.3 474块

C.3 402块 D.3 339块

图6

【试题背景】天坛是古代举行祭天大典的场所，主要建筑有圜丘、皇穹宇及配殿、神厨、三库及宰牲亭，附属建筑有具服台、望灯等.圜丘明朝时为3层蓝色琉璃圆坛，清乾隆十四年(1749)扩建，并改蓝色琉璃为艾叶青石台面，汉白玉柱、栏.圜丘形圆，3层坛制，高5.17 m，下层直径54.92 m，上层直径23.65 m，每层四面出台阶各9级.上层中心为一块圆石，外铺扇面形石块9圈，内圈9块，以9的倍数依次向外延展，栏板、望柱也都用9或9的倍数，象征“天”数.

设第n环天石心块数为an，第一层共有n环，则{an}是以9为首项、9为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n，设Sn为{an}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，即

本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道简单题.

【姊妹题】天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘坛共有3层(如图7所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成(如图8所示).上层坛从第一环至第九环共有9环，中层坛从第十环至第十八环共有9环，下层坛从第十九环至第二十七环共有9环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是_________；上、中、下3层坛所有的扇面形石块数是_________.

图7

图8

例5(全国卷Ⅱ文3)如图9，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12，设1≤i＜j＜k≤12.若kj＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( ).

图9

A.5 B.8 C.10 D.15

【试题背景】以钢琴键为背景，不仅可以体现数学在音乐领域的价值，还可以改变学生认为数学是冰冷、枯燥的认识，使其学会用数学的眼光看待事物.

根据题意可知，原位大三和弦满足：

k－j＝3，j－i＝4.i＝1，j＝5，k＝8；

i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；

i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12.

原位小三和弦满足：

k－j＝4，j－i＝3.i＝1，j＝4，k＝8；

i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；

i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12.

故个数之和为10.故选C.

本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题.

【姊妹题】音乐是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如asinbx的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数y＝0.06sin 180 000t构成乐音的是( ).

A.y＝0.02sin 360 000t

B.y＝0.03sin 180 000t

C.y＝0.02sin 181 800t

D.y＝0.05sin 540 000t

赏析完试题，不难发现以上试题情境交融、知能并重，背景涉及古今中外，视角触及天边眼前，蕴含着浓郁的文化意韵，流淌着鲜活的数学思想，是精心打造的亮点之处和匠心独运的创新之举.这类问题要求学生对所提供的信息资料进行整理和分析，在试题营造的数学氛围中，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神，用数学的观点认识世界、观察社会、思考问题.同时，体现出高考数学以问题为背景、以知识为载体、以方法为依托、以能力为主线，在平凡中进行科学探究，在朴实中传播数学文化的命题意图.这些试题的意义和价值实际上已远远超出了试题本身.

当前教材中出现了许多高考数学文化命题素材来源题，高考讲求“源于教材，高于教材”，所以我们要有意识地对这些数学文化素材或真题进行拓展改编.

2 试题的启示

将数学文化融入高考试题，改变了以往单纯的知识性考查，使学生了解到数学冰冷的外表下蕴藏着的丰富世界，要能够透过试题表面看到背后的数学本质.但作为一线的教师要认识到，并不是因为高考要考数学文化，课标要求提到数学文化，才显得数学文化重要.

在日常的教学中如何自然地渗透数学文化(或数学思想)，笔者认为“此事无形胜有形”.数学文化的学习不是一蹴而就的，一线教师在备课时应该深度挖掘，充分利用教材中所涉及的数学文化，在课堂讲解的过程中渗透，将数学文化中所蕴含的思想、方法融入教学之中，使学生在学习基础知识的同时了解其背后的故事.

总之，数学学科来自人们对日常生活经验的归纳和总结，更加具有文化气息，教师要重视对数学文化的应用，将数学文化贯穿于学生数学学习进程的始终，让学生可以深入了解数学发展史，感受数学的深厚内涵，主动探索和发掘数学文化精髓，培养学生对于数学学习的兴趣，提升学生数学学习的积极性，使学生感受到更丰富的数学知识及数学运用，培养良好的数学学习情感，最终提升数学核心素养.