基本不等式的理解与应用——以近年高考题为例

◇ 廖永福

基本不等式是高中数学的重要内容，也是高考数学的热点.在应用基本不等式时，因其特征较多、题型多变、解法灵活，同学们难以掌握.本文试图从基本不等式的特征入手，帮助大家厘清解题思路，促进思维发展.

1 直接用

对于符合基本不等式特征的式子，可以尝试直接应用基本不等式解题.

例1(2019年上海卷)若的最大值为_________.

分析条件等式左边符合基本不等式的特征，可以尝试直接应用基本不等式求解.

解因为x，y∈R＋，所以

本题着重考查了基本不等式及其应用，属于基础题.

变式1(2013年福建卷)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ).

A.[0，2] B.[－2，0]

C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]

变式2(2010年山东卷)已知x，y∈R＋，且满足，则xy的最大值为________.

变式3(2014年上海卷)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为_________.

答案1.D. 2.3. 3

2 变形后用

对于不符合基本不等式特征的式子，可先设法把它转化为符合基本不等式特征的式子，再应用基本不等式，常用的变形技巧有配凑、拆分等.

例2(2011年重庆卷)若函数(x＞2)，在x＝a处取最小值，则a＝( ).

分析把函数解析式整理成符合基本不等式特征的形式，再求解.

解因为x＞2，所以x－2＞0.所以f(x)＝x＋

本题主要考查基本不等式的应用，考查考生分析问题和解决问题的能力.解题关键是通过配凑使f(x)符合基本不等式的特征，属于基础题.

变式1(2010年重庆卷)已知t＞0，则函数y＝的最小值为_________.

变式2(2011年湖南卷)设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________.

答案1.－2. 2.9.

3 反复用

对于一些比较复杂的式子，有时需要反复应用基本不等式，这时要注意每次不等式取等条件是否一致，以确定能否取到最大值或最小值.

例3(2017年天津卷)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________.

分析应用两次基本不等式，即可求出最小值.

解因为a，b∈R，ab＞0，所以

本题主要考查基本不等式的应用，在反复应用基本不等式时，各个取等条件必须同时成立，否则取不到最值，属于中档题.

变式1(2009年重庆卷)已知a＞0，b＞0，则的最小值是( ).

变式2(2010年四川卷)设a＞b＞0，则a2＋的最小值是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

变式3(2010年四川卷)设a＞b＞c＞0，则的最小值是( ).

答案1.C. 2.D. 3.B.

4 先代后用

对于条件最值问题，可尝试用局部代入法或整体代入法求解，前者是指先将条件等式变形，其中一个变量用其他变量表示，再代入所求式子中；后者是指将条件等式适当变形后整体代入，也称1的代换法或常数代换法.

例4(2020年江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是_________.

分析由条件等式求得x2，代入所求式子并整理后，可用基本不等式求出最小值.

本题主要考查基本不等式在求解函数最值中的应用，解答本题的关键是把条件等式变形后整体代入，属于中档题.

变式1(2017年山东卷)若直线0，b＞0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.

变式2(2008年湖南卷)设0＜x＜1，则y＝的最小值为( ).

A.24 B.25 C.26 D.1

变式3(2014年重庆卷)若log4(3a＋4b)＝，则a＋b的最小值是( ).

变式4(2013年天津卷)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时取得最小值.

变式5(2019年天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________.

答案1.8. 2.B. 3.D. 4.－2.5.

5 先用后代

在条件最值问题中，若条件等式和所求式子有一个符合基本不等式的特征，则可尝试应用基本不等式，把条件等式或其变形后的式子代入所求式子或其变形后的式子中求解.

例7(2018年天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则的最小值为________.

分析先对所求表达式直接应用基本不等式，再把已知条件代入求解即可.

本题考查应用基本不等式求最值，考查计算能力.解题的关键是对所求表达式应用基本不等式后，再把已知条件代入，属于中档题.

变式(2011年天津卷)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为_________.

答案18.

6 为消元而用

在条件最值问题中，若条件等式(或变形后)只含有两数的和与积，则求两数和(或积)的最值问题可转化为解不等式问题.先建立两数和与积之间的不等关系，再把条件等式变成用和(或积)表示积(或和)的形式后代入.

例8(2010年浙江卷)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是_________.

分析应用基本不等式可得，把2x＋y＝xy－6代入后得到一个关于xy的不等式，解这个不等式即得.

解因为x，y都是正数.把2x＋y＝xy－6代入上式，得，即

本题主要考查基本不等式的应用、换元思想和一元二次不等式的解法，解题关键是应用基本不等式列出不等式，进而得到一个关于的一元二次不等式，属于中档题.

变式1(2015年湖南卷)若实数a，b满足，则ab的最小值为( ).

变式2(2010年重庆卷)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( ).

变式3(2011年浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_________.

答案1.C. 2.B. 3.

7 变着用

例9(2020年海南卷)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则( ).

分析选用基本不等式的变式和不等式的性质不难得出结果.

解因为1＝(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以a2＋故A正确.

因为a＞0，b＞0且a＋b＝1，所以2(a＋b)＝2，所以，故D正确.

综上，选ABD.

本题考查不等式的性质和基本不等式的应用，考查学生的运算能力和转换能力，灵活运用基本不等式的变式是解题的关键，属于中档题.

变式1(2015年上海卷)已知a＞0，b＞0，若a＋b＝4，则( ).

变式2(2010年安徽卷)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_________(写出所有正确命题的编号).