解答高考不等式客观题的特殊方法

◇ 唐 俊

不等式是高中数学的基础模块，也是高考重点考查内容，且多以客观题的形式出现，常结合函数、数列等知识点，考查视角主要涉及解不等式、比较代数式的大小等.下面结合近年高考题或模考题，针对不等式问题的解答，提出几种特殊方法.

1 观察法

解不等式问题通常结合与其对应的方程，求解方程的根，而有些方程是含有指数或对数函数的超越方程，其根无法利用常规方式求解，故可采用观察法，得出所求不等式的解集.

例1(2020年北京卷)已知函数f(x)＝2xx－1，则不等式f(x)＞0的解集是( ).

A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

令f(x)＝0，即2x－x－1＝0，此方程为超越方程，无法直接求解，利用观察法可得其根为0，1，结合函数y＝2x与y＝x＋1的图象特征，可知该方程没有其他根，所以不等式f(x)＞0的解集为x＜0或x＞1，故选D.

应用观察法求方程的根时，要结合函数特征，若方程中含有指数函数，可利用0，1等特殊点进行验证；若方程中含有对数函数，可用1或与对数函数的底数有关的数值进行验证.在利用观察法得出方程的根后，判断是否含有其他根时，要结合函数零点的存在定理或唯一性定理.

2 数形结合法

在解答与函数有关的不等式问题时，若函数的图象能够准确描绘出，或能快速找出相应函数之间的位置关系，则可利用数形结合法求解.

例2已知函数若f(x)＞f(x＋1)，则x的取值范围是_________.

函数f(x)是由幂函数及一次函数构成的分段函数，其分段点为1.f(x＋1)的图象可由f(x)的图象向左平移一个单位得到，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)(虚线)和f(x＋1)(实线)的图象，如图1所示.结合图象可知，f(x)＞f(x＋1)的解集为(0，1].

图1

应用数形结合法解不等式，关键在于找到不同函数图象之间的位置关系.如本题中将向左平移一个单位，f(x)与f(x＋1)的位置关系是在区间(0，1)，f(x)在f(x＋1)的上方；在区间(1，＋∞)，f(x)在f(x＋1)的下方.这一关系的准确利用是求解此不等式的关键.类似地，y＝x－1与y＝lnx，y＝x＋1与y＝ex，以及y＝x与y＝sinx等关系，在相关不等式问题的求解中均有重要的应用.

3 单调性法

单调性法是处理不等式问题的重要方法，即利用题目所给关系式的结构特征，构造相关函数，再判断函数的单调性，进而利用函数的单调性进行大小关系的判断.

例3(2020年全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b则( ).

A.a＞2bB.a＜2b

C.a＞b2D.a＜b2

由2a＋log2a＝4b＋2log4b变形，可得

设函数f(x)＝2x＋log2x(x＞0)，易判断f(x)在区间(0，＋∞)内单调递增，所以a＜2b.故选B.

应用此方法解题的关键是将所给关系式左右两端构造成同构式，从而引入相应函数，再判断函数的单调性.本题中所构造函数的单调性可利用基本初等函数的单调性进行判断，对于较复杂的函数的单调性，可利用导数判断.

4 赋值法

赋值法，即通过代入特殊值进行检验，排除错误选项.此方法是处理不等式性质问题的简捷方法.

本题可以直接利用不等式的性质进行一一验证，但利用赋值法更显“小题小做”的优势.在应用此方法解题中，要注意所选特殊值不能“以偏概全”，例如，已知a＞b，判断的大小关系，若a，b均取正数或均取负数，可得，但a＞0，b＜0时，则有

5 借值法

借值法是指借助中间值求解问题，在解答比较大小的不等式问题时，可通过选取中间值搭建桥梁，将待比较的数与中间值进行比较，从而判断出大小关系.

例5已知x＝lnπ，y＝log52，z＝则( ).

A.x＜y＜zB.z＜x＜y

C.z＜y＜xD.y＜z＜x

对于不易直接应用作差或作商比较大小的问题，可通过寻找中间值，如0，，1等.本题易得出0＜y＜1，0＜z＜1，故可考虑借助值进行比较，比较过程中要准确应用常数与对数式、常数与指数式之间的转化关系.

6 放缩变换法

即利用所给的条件，或基本不等式的性质将待比较的代数式进行放大或缩小后，再比较大小.

例6(2020年全国卷Ⅲ)已知55＜84，134＜85，设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( ).

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

本题在求解过程中利用了均值不等式及不等式的性质进行放缩.此方法的应用要注意放缩工具的选择，放缩要适度.另外在比较a，b的大小关系时，也可利用作差法，即

总之，与不等式有关的问题虽然常考常新，但万变不离其宗，只要我们把握相应的解题技能，即可以静制动.

链接练习

1.已知a＞b，则下列不等关系正确的是( ).

A.ln(a－b)＞0 B.3a＜3b

C.a3－b3＞0 D.|a|＞|b|

2.已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且对于∀x∈(－∞，＋∞)，有f(－x)＋f(x)＝0.当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若f(x－1)≤f(x)对∀x∈(－∞，＋∞)都成立，则实数a的取值范围是( ).

3.(2020年全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则( ).

A.ln(y－x＋1)＞0 B.ln(y－x＋1)＜0

C.ln|x－y|＞0 D.ln|x－y|＜0

4.已知函数则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为( ).

A.(－1，0]B.[－1，1]

C.(－1，1]D.(－1，2]

链接练习参考答案

1.C.2.B.3.A.4.C.