函数创新性问题赏析

◇ 浙江 王茂聪

函数是数学大厦的基石,也是高中数学的核心内容.高考对函数的要求一向很高,除了要求考生掌握基本问题的解法外,往往还渗透一些创新性问题,这类问题既考查了考生融会贯通的综合能力,同时也检验了考生勇于探究的学习品质.这类问题新颖独特,本文列举几例,与大家共赏.

1 三次函数拐点的应用

三次函数是最常见的高次函数,也是高考命题经常涉及的函数.而三次函数拐点的概念,在中学教材中未曾提及,题目中给出函数的概念,并要求学生利用这个概念解决相关问题,可以全面考查学生的学习力.

例1对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),给出如下定义:

设f′(x)是函数y＝f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)＝0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.

某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数

请你根据上面探究结果,计算

解析

故f″(x)＝2x－1.

令f″(x)＝0可得,所以函数f(x)的拐点即对称中心为(),若x1＋x2＝1,则

所以

点评

本题属于背景新颖的材料分析题,要求考生从材料中读取有关信息,解决问题.本题既考查了导数的应用,又考查了三次函数的对称性,题干创新独特,能灵活考查学生利用数学知识解题的本质,即转化思想.

2 抽象函数值的大小比较

抽象函数是高中函数的难点,与抽象函数有关的不等式问题一般会涉及函数的单调性,而抽象函数的单调性又与导数有着密切的联系,于是这种综合性极强并要求考生具有构造思想的数学问题应运而生.

例2设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立,则( ).

A.3f(ln 2)＜2f(ln 3)

B.3f(l n 2)＝2f(l n 3)

C.3f(ln 2)＞2f(ln 3)

D.3f(l n 2)与2f(l n 3)的大小不确定

解析

由题意对任意x∈R都有f(x)＞f′(x),所以g′(x)＜0,即g(x)在R上单调递减.

又由l n 2＜l n 3,可知g(l n 2)＞g(l n 3),即

点评

抽象函数值的大小比较既是一类新颖题,又是一类难题.恰当构造函数,并利用函数的单调性比大小是解决这类问题的通法.本题求解的关键是利用已知条件构造恰当函数,考查了对数运算公式的应用.

3 新定义函数问题

新定义问题是数学中最常见的创新题,新定义函数问题给出一个函数的新名称,同时给出该函数独特的性质,要求考生利用新函数的新性质去解决相关问题.

例3若函数f(x)是定义域D内的某个区间I上的增函数,且在I上是减函数,则称y＝f(x)是I上的“单反减函数”,已知f(x)＝l nx,.

(1)判断f(x)在(0,1]上是否是“单反减函数”;

(2)若g(x)是[1,＋∞)上的“单反减函数”,求实数a的取值范围.

解析

(1)由于f(x)＝l nx在(0,1)上是增函数,且,因为

所以x∈(0,1)时,F′(x)＞0,F(x)为增函数,所以f(x)在(0,1)上不是“单反减函数”.

因为g(x)是[1,＋∞)上的“单反减函数”,则g′(x)≥0在[1,＋∞)上恒成立,所以g′(1)≥0,即在[1,＋∞)上是减函数,所以G′(x)≤0在[1,＋∞)上恒成立,即在[1,＋∞)上恒成立,即axaxl nx－4≤0在[1,＋∞)上恒成立.

令p(x)＝ax－axl nx－4,求导得

p′(x)＝－alnx≤0,

故p(x)＝ax－axl nx－4在[1,＋∞)上是减函数,pmax(x)＝p(1),由p(1)≤0得a≤4.

综上,a的取值范围为[0,4].

点评

本题的新颖之处是给出新定义“单反减函数”,考查学生对新定义的认识;其次,本题需要利用导数解决新定义函数的有关问题,考查新定义的应用.本题表面上看是函数新问题,但解决此问题的方法还是研究函数单调性的老方法——导数法.可谓“以旧破新”.

创新,是一个民族的灵魂,也是数学的灵魂.数学教育要创新,数学问题也要创新,这是中学数学发展的必由之路,也是培养数学创新思维的有效途径之一.