数学教学的确定性与不确定性

蒋华

摘要：教学的确定性来源于教学内容等客观因素的制约，难免存在规定性与统一性，过度强调会带来以知识为中心、以教材为经典、以接受为主旨等负面表现。教学的不确定性则是因为教学实施者（教师）与接受者（学生）都是活生生的人，存在主观能动性，主要体现在教学前提、教学过程、教学结果的不确定性三个方面。数学教学应该追求确定性和不确定性的和谐统一，应从单一知识到多元价值，从封闭课堂到学习中心，从个体学习到协同学习。

关键词：确定性不确定性多元价值学习中心协同学习

教学的确定性来源于教学内容等客观因素的制约，难免存在规定性与统一性;教学的不确定性则是因为教学实施者（教师）与接受者（学生）都是活生生的人，存在主观能动性。数学教学应该是确定性和不确定性的和谐统一：在保证数学教学确定性（科学性）的同时，注重学生在学习活动中的生命体验，追求教学的不确定性（艺术性）。

一、数学教学过度强调确定性的一些表现

一般认为，在所有的学科中，数学学科知识是最确定的。数学知识的确定性是指，数学知识虽然是从现实世界中起源的，但由于其经过人类大脑的形式加工，逐渐形成了自己的系统结构，表现为抽象性和去情境化。数学知识更多地成为理性的创造物，抽象性、严谨性和形式性成为其基本标志。

数学教育价值体系正是建立在对数学知识确定性的理解和认识基础上的，但教学作为人类传承文化的主要渠道，是师生生命共同成长的基石，生命的复杂性决定了教学活动的不确定性。如果数学教学过度强调确定性，则会带来如下一些负面表现。

（一）以知识为中心

由于数学本身被认为是确定性的典范，学习数学被认为是为了了解“关于永恒存在的知识”，于是，数学教学的主要内容常会被窄化为学习确定性的数学知识。同时，受应试教育和功利主义思想的影响，在现有评价体系的束缚下，普遍存在重知识技能，轻方法能力、情感态度价值观的教学现状。

（二）以教材为经典

教材是学生学习数学的主要载体，是关于学生学什么、怎么学、学到什么水平的说明。新一轮课程改革提出了国家课程、地方课程、校本课程三级课程管理体系，倡导开发适合学生成长的特色课程，部分数学教材的编写也体现了关注学生生命成长而非系统传授数学学科知识的价值倾向。但受评价体系、专业能力、课程资源的局限，部分学校不具备开发适合学生所需的课程体系与教学内容的能力，数学校本课程开发往往沦为点缀。另外，为了不影响学生升学，学校和教师也不敢冒险，普遍存在以教材为经典、以书本为唯一，教材编什么就教什么、考试考什么就教什么的现状。

（三）以接受为主旨

由于数学教学传承确定性知识的功能不变，传授确定性知识的教师，天然就确立了“师道尊严”的地位。教师俨然成为知识的化身，而教学也变成单向传输，只是向学生输入数学的原理——教师按照确定好的方式讲述确定性的知识，学生认真听讲，获取知识。这种接受式学习模式把教学过程从学生的生活世界中剥离出来，片面强调知识的确定性，由外部的知识目标来推动教学，忽视了学生本身的学习动力，导致学生丧失学习兴趣，教学沦为一种无生命意义的文本传递活动。

二、数学教学不确定性的解读

教学的不确定性有不同层面的解读，从实施过程来看，主要体现在三个方面：教学前提——经验基础与理性基础的不确定性;教学过程——知识生成的不确定性;教学结果——学习成果的不确定性。

（一）教学前提的不确定性

学生是学习的主体，教学应以学生的学习为立足点。虽然为了提高教学的效率，我们可以把学生按照文化背景、知识基础、学习能力等分成一个个学习共同体，确保学生水平接近;但世界上没有完全相同的两片树叶，更没有完全相同的两个人，每个学生的已有经验、性格特征、心理状态等不尽相同。因此，每一次教学的经验基础和理性基础都是不确定的。

（二）教学过程的不确定性

教学是特殊的社会活动，教学过程伴随着师生的生命相遇和心灵相约。由于个体之间的差异，相同的知识在被不同的个体理解（建构）时会出现不同的样态。这就要求教师充分考虑到知识“再生成”过程中的不确定性。教学的过程是生成冲突与解决冲突往复循环的过程，师生之间、生生之间、生本之间的思维碰撞和文化交流，使得教学成为丰富多彩、不可重复和难以预测的活动。

（三）教学结果的不确定性

首先是数学知识本身的不确定性。比如数系，小学阶段学习的整数、分数和小数都是确定的数，中学阶段开始学习无理数、虚数，这些数具有不确定性。再如，欧氏几何一直被认为是几何的经典，然而数学家逐渐发现它并不是绝对的真理，其确定性是有一定局限的。

其次表现在教学是一个复杂的系统，教学的主题、目标、内容、方法等要素互相影响、互相作用，其中任何一个要素稍加变化都會导致教学结果的变化，可谓“牵一发而动全身”。教学前提、教学过程的不确定性必然造成教学结果的不确定性。

三、追求确定性与不确定性的和谐统一

（一）从单一知识到多元价值

强调确定性的数学教学往往以单一的知识习得为教学目标，至于知识以外的综合素养的提升，往往因为既难量化，又不确定，可谓“吃力不讨好”，而被忽视。实际上，这些知识之外的“副产品”，正是数学教学所应追求的重要目标。以如下规律探究过程为例：

（教师出示题目：7×7=□，6×8=□;8×8=□，7×9=□;9×9=□，8×10=□。学生口算。）

师如果25×25=625，那么24×26=？你能直接得出结果吗？

生能。等于624。

师通过这样的过程，你发现了什么？你能再举一个例子吗？

（学生回答并举例。）

师你能用含有字母的式子来表示你发现的规律吗？

（学生回答。）

通过这样的规律探究过程，学生可以明确：计算本身并不重要，完全可以用计算器来辅助得到结果;规律本身也并无多大的实际意义，重要的是规律探究的过程。在这个过程中，学生通过观察、比较、猜想、验证，归纳出规律，并用抽象的代数式来表达。这就是对数学多元价值的追求，充分发挥了数学培育人心智的功能。

（二）从封闭课堂到学习中心

现代学校制度是大工业时代的产物。17世纪30年代，为了应对大工业生产培养大批熟练劳动者的需要，夸美纽斯提出了“班级授课制”——通过把学习者放到封闭的学校里、教室中，把人类文明所创造和传承的知识多快好省地传授给他们。从某种程度上来说，这确实极大地提高了教育的效率。

如今，传统的教育已经无法适应当前高度个性化、信息化、智能化的时代。对此，朱永新教授提出一种解决方案——“学习中心”，指出未来的学习中心是由一个个网络学习中心和一个个实体学习中心构成的学习社区。这指向的就是教学确定性与不确定性的和谐统一。2020年，新冠肺炎疫情暴发，给传统的教学带来了极大的挑战。很多学校开始了积极的线上教学尝试。这其实也是对“学习中心”理念的一种前瞻性实践。不少教师利用“钉钉”平台开展线上教学，学生利用“钉钉”的交互功能，在收看教师直播教学的同时，不断即时提问。一节直播课下来，反馈信息有几百条甚至上千条，所提问题千奇百怪，有知识上的，有方法上的，还有心情上的。线上教学的不确定性让学生的个性得以充分的张扬。

（三）从个体学习到协同学习

强调确定性的教学更为关注的是个体学习，对教学的研究往往更关注个体头脑中知识的建构与理解的过程，注重确定性知识目标的达成。而确定性与不确定性和谐统一的教学，则强调通过学习伙伴之间的对话与交互、分享与交流，实现多元价值。对话与交互、分享与交流的参与范围越广，观点碰撞越激烈，越有利于学生思维的深入发展。

对此，我们研究了以“两级交流”为特征的协同式小学数学课堂，概括出协同学习的基本活动结构：（1）个人独立探究，获得个性化的学习成果;（2）一級交流（组内交流），小组成员分享个性化的学习成果;（3）二级交流（组间交流），围绕学习任务展开小组之间的拓展、应用、内化;（4）教师点拨引领，促使学习走向纵深。一级交流注重在个性化学习基础上的人人参与，所有个体贡献自己的认识和经验，同时分享他人的学习成果，然后对自己的学习成果进行对照与矫正，深化数学思考，不断丰富学习认识和经验;二级交流紧紧围绕核心任务（问题）层层深入，不断优化，以确保学习任务的最终完成。课堂上，学生是协同学习的主体，教师也是协同学习的重要成员。教师应积极组织并深度参与学习过程，认真倾听、仔细观察、把握典型，及时给予画龙点睛式的指导和恰当的鼓励，以推动学习不断走向纵深。

参考文献：

[1] 罗祖兵，余瑶.数学知识不确定性的价值及其实现[J].全球教育展望，2014（7）.

[2] 周守军.中小学教学转向：面向不确定性知识[J].黄冈师范学院学报，2012（4）.

[3] 咸富莲，马东峰.教学不确定性的内涵、特点及价值诉求[J].教育理论与实践，2014（31）.

[4] 朱永新.未来学校：重新定义教育[M].北京：中信出版集团，2019.