巧用平抛推论解题

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1 平抛运动结论及推论

结论质点做平抛运动，如图1所示，速度偏角与位移偏角满足关系式tanα＝2 tanβ（证明略）．除此之外，平抛运动还有以下推论．熟练应用它们会给解题带来便利．

推论1末速度的反向延长线交于水平位移的中点．即

图1

证明如图1所示，从O点抛出的物体经时间t到达A点，合速度的反向延长线交x轴于B点．由结论知B为OC的中点．

推论2以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点，位移方向相同，末速度方向互相平行，与初速度无关，即α1＝α2．

证明如图2所示，从倾角为θ的、足够长的斜面顶点A，先后将同一物体以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，物体落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度为v2（v2＞v1），物体落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为α2，由结论结合图中的几何关系可得tan（θ＋α）＝2 tanθ，此式表明速度方向与斜面间的夹角α仅与θ有关，而与初速度无关，因此α1＝α2．

图2

推论3以不同初动能平抛的物体落在斜面上各点的末动能仅与初动能和斜面倾角θ有关，与高度无关，即Ek＝Ek0（1＋4 tan2θ）

图3

证明如图3所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶点a将一小球以一定的初动能Ek0水平向右抛出，设物体落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为α，因为Ek＝由结论可知Ek＝Ek0（1＋4 tan2θ）．此公式也适用于类平抛运动，且与恒力大小、初速度大小、质量大小等因素无关．

推论4从倾角为θ的斜面底角正上方平抛物体，能垂直打到斜面上，物体的初速度和高度有定量关系（平抛的高度为h），即

证明如图4所示，从倾角为θ的斜面底角正上方平抛物体，垂直打到斜面上，由几何关系和结论，得v0t，解得

图4

推论5从倾角为θ的斜面底角正上方平抛物体，要使路径最短（位移方向与斜面垂直），物体的初速度和高度有定量关系（平抛的高度为h），即

证明如图5所示，从斜面底角正上方平抛物体，要使路径最短，由几何关系和结论有，解得

图5

推论6如图6所示，从倾角为θ的斜面某位置上方以相同的速度平抛物体，垂直打到斜面上和以最短路径打到斜面上，平抛高度之比为常数，即h1∶h2＝（1＋sin2θ）∶4．

图6

证明由推论4和5得平抛的高度之比为

推论7如图7所示，物体从光滑圆弧面A由静止释放，从B点水平飞出，落在倾角为θ的斜面上的C点，AB的高度为h，BC的高度为H，则h与H有定量关系，即H＝4htan2θ＝htan2α．

证明由机械能守恒得由结论解得

图7

推论8如图8所示，物体水平抛出，恰好沿倾角为θ的斜面滑上斜面，则h与s之间有定量关系，与初速度大小无关，即

图8

证明由结论知tanθ＝解得，与初速度大小无关．

推论9如图9所示，左右两斜面的倾角分别为θ和，物体从高为H处以初速度v0水平抛出，垂直打在右斜面上，落点的高度为h，则h与H有定量关系，即H＝h（2＋tan2θ）．

图9

证明由结论可知，解得H＝h（2＋tan2θ）．

推论10如图10所示，从O点抛出的物体落在圆弧上，要使动能取得最小值，落点的位移偏角为与R无关的定值，即

图10

证明设小球落到圆弧上时下落竖直高度为y，水平位移为x，动能为Ek，小球平抛运动的初速度为v0，圆弧AB的半径为R．水平方向:x＝Rcosθ＝v0t；竖直方向，解得；对小球，由动能定理可得mgy＝，解得，由数学知识知，当，即sin，即有最小值，此时动能最小为（v0与R相关），即使R改变，θ也不变．

2 部分推论应用举例

例1如图11所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R．一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）．

图11

A．v0越大，小球落到圆环时的时间越长

B．v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角相同

C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环

D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环

解析

小球落在环上的最低点C时时间最长，所以选项A错误．v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B错误．若小球垂直撞击半圆环，根据推论1，小球落点速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，即圆心，也就是说小球的位移为直径，显然这是不可能的，所以选项D正确，选项C错误．

例2如图2所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度为v2，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为α2，若v2＞v1，试比较α1和α2的大小（ ）．

A．α1＞α2B．α1＜α2

C．α1＝α2D．无法确定

根据推论2直接确定选项C正确．

图12

例3（2013年安徽卷）如图12所示的平面直角坐标系x Oy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于x Oy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P（0，h）点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a（2h，0）点进入第Ⅳ象限．不计粒子所受的重力．求:

（1）电场强度E的大小；

（2）粒子到达a点时速度的大小和方向．

图13

解析

（1）设粒子在电场中运动的时间为t，则有

联立以上各式可得

例4（2014年新课标卷Ⅰ）如图14所示，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA＝60°，．将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点．求:小球到达A点时的动能与初动能的比值．

图14

解析

方法1设小球的初速度为v0，初动能为Ek0，从O点运动到A点的时间为t，令OA＝d，则，根据平抛运动的规律有

设小球到达A点时的动能为EkA，则EkA＝，解得

方法2根据推论3，Ek＝Ek0（1＋4 tan2θ），其中θ＝30°，代入已知条件得

例5如图4所示，在倾角θ＝37°的斜面底端的正上方h处，平抛一个物体，该物体落到斜面上的速度方向正好与斜面垂直，则物体抛出时的初速度为（ ）．

例6如图7所示，小球从静止开始沿光滑曲面轨道AB滑下，从B端水平飞出，撞击到一个与地面成θ＝37°的斜面上，撞击点为C．已知斜面上端与曲面末端B相连，若AB间的高度差为h，BC间的高度差为H，则h与H的比值等于（ ）（不计空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）．

例7如图9所示，两倾角分别为37°和53°的斜面体放置在水平面上，顶点对接于O点，将它们固定，将一小球自斜面上的A点以某速度水平抛出，恰好垂直打在斜面2上，已知A点到O点的高度为H＝0.41m，g取10 m·s－2，求小球在斜面2上落点的高度．

根据推论9解得，h＝0.16m．

例8如图10所示，竖直平面内有一个四分之一圆弧AB，OA为水平半径，现从圆心O处以不同的初速度水平抛出许多个质量相同的小球，小球可以看作质点，不计空气阻力，当小球落到圆弧上时（ ）．

A．速度的反向延长线可能过OA的中点

B．小球在圆弧上的落点越靠近B点动能越小

C．小球落在圆弧中点处时动能最小

D．动能最小的位置在圆弧中点的上方

解析

做平抛运动的物体速度方向的反向延长线过水平位移的中点，如果速度的反向延长线过OA的中点，则小球的水平位移为R，从O抛出的小球做平抛运动，由于圆弧的约束，小球的水平位移不可能是R，选项A错误；小球落到圆弧上时的动能从A到B先减小后增大，小球动能最小的位置，在AB中点的上方，选项B、C错误，选项D正确．