具左右分数阶导数的时滞微分方程的正解存在性及迭代求解法

魏春艳， 刘锡平

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

近年来，分数阶微分方程受到了人们的广泛关注[1-12]，在化学工程、粘弹力学以及人口动态等问题中得到了广泛应用[13-15]。上下解方法是分数阶微分方程理论研究的重要手段，很多文献运用上下解方法研究微分方程边值问题解的存在性[6-12]。在有些情况下，粒子在一些特殊介质中的运动不仅依赖于它当时的状态，还依赖于其过去的状态，比如，在大孔隙率或高流速的情况下，还要考虑到流动惯性的影响[16-18]。而带时滞的分数阶微分方程能够很好地刻画这类物理现象，但用迭代法研究带左右侧Riemann-Liouville分数阶导数的时滞微分方程积分边值问题，并对其近似解进行误差估计的文献相对较少[9-12]。

本文研究带有左右分数阶导数的非线性时滞泛函微分方程积分边值问题

2 预备知识

引理1对任意给定的 ，边值问题y∈C([0,1],R)

存在唯一解

其中，

根据边界条件u(1)=0，u(0)=φ0(0)，可得

于是，当t∈(0,1)时，

其中，v(s)和Gβ(t,s)由式（4）和式（5）定义。

已知当t∈ [-τ,0]时，u(t)=φ0(t)；当t∈[1,1+σ]时，u(t)=φ1(t)。故

则称x=x(t)是边值问题（1）的下解。

如果y∈E满足

容易证明，若u=u(t)满足式（3），则它满足边值问题（2）。

证毕。

由引理1容易得到下面的引理2。

引理2边值问题（1）等价于积分方程

则称y=y(t)是边值问题（1）的上解。

现研究边值问题（1）正解的存在性。先作如下假设:

且Gβ(t,s)和Gα(s,r)分别由式（5）和式（6）定义。

引理3由式（5）和式（6）分别定义的函数Gβ(t,s)和Gα(s,r)是 连 续 的 ， 且 对 任 意 的t,s,r∈[0,1]，满足

3 主要结论

记E=C[-τ,1+σ]，定义范数则 (E,||·||E)是Banach空间。令

显然，P是E上的正规锥。对任意的x,y∈E，记x≤y当 且 仅 当y-x∈P,t∈[-τ,1+σ]， 于 是 ，(E,≤)为半序Banach空间。

定义1如果x∈E满足

为方便起见，记常数

定理1假设（H1）成立，边值问题（1）存在非负下解x0∈P和非负上解y0∈P，且满足x0≤y0，则边值问题（1）在 [x0,y0]:={x∈P|x0≤x≤y0}上存在最小正解x*和最大正解y*。

图 1 迭代过程及近似解u1Fig.1 Interation and approximate solution u1