求解非线性方程的4阶收敛的无导数迭代法*

范倩楠,王晓锋

(渤海大学)

0 引言

多点迭代法是解非线性方程的一类有效方法.近年来，有许多高效方法被提出[1-5]，其中无导数多点迭代求解法就是一种常见且简易的求解方法，史蒂芬森法是最经典的无导数迭代法[6]，其格式如下：

(1)

史蒂芬森法是2阶收敛的，且在每次迭代过程中需要计算2个函数值.

定义2[7]若迭代法在每次迭代过程中需计算的函数值总数为n，并且迭代法的收敛阶数为2n-1，则该收敛阶数为迭代法的最优收敛阶数，简称最优阶．

1 新的4阶收敛的无导数两步迭代法

构造格式如下：

(2)

其中zk=xk+f(xk).

定理设f(x):I→R在开区间I内具有5阶导数，如果a∈I是f(x)=0的单根，且x0充分靠近a，则式(2)的收敛阶为四阶，其误差表达式为

(3)

证明设ek=xk-a,ez=zk-a,ey=yk-a.

利用Taylor展开式将函数f(x)在零点a处展开，并令x=xk，可得

(4)

(5)

与式(4)类似，利用Taylor展开式，将函数f(x)在零点a处展开，并令x=zk，可得

(6)

f′(a)(2c2c3f′(a)+c4(2+2f′(a)+

(7)

由式(2)-式(5)，可得

(8)

利用Taylor展开式，将函数f(x)在零点a处展开，并令x=yk，可得

f′(a)3)-c2c3(7+10f′(a)+7f′(a)2+

(9)

同理得

(10)

(11)

利用式(2)-式(9),可得误差表达式为

ek+1=xk+1-a=yk-a-

(12)

2 数值结果

为了验证迭代法的收敛性，将新的4阶收敛的无导数两步迭代法(2)与牛顿迭代法 (NM)[8]、史蒂芬森方法 (ST)[6]、King方法 (K4)[9](当β=1时)，以及Ostrowski方法(O4)[10]进行比较.实验运行环境为Windows 10，Matlab 7.0编程，数值结果见表1，其中：x0为初始值；a为非线性方程的根； |xk-a|(k=1,2,3)为绝对误差的绝对值；|f(xk)|为最后一次迭代所得近似解函数值的绝对值；ρ[7]为近似计算收敛阶，其计算公式为

数值试验中使用如下3个测试函数：

(1)f1(x)=x5+x4+2x2-15,

a≈1.347428098968305,x0=1.4;

a≈2.278862660075828,x0=2.0;

(3)f3=10xe-x2-1,a≈1.679630610428,x0=1.8.

表1 函数f i(x)(i=1,2,3)的数值结果