正负偏差变量在数学规划模型中的应用研究

2020-11-17 02:18熊庆如
科学导报·学术 2020年47期
关键词:线性规划

摘  要:数学建模是利用数学思想和方法解决实际问题的一种方式,线性规划问题是数学建模的一项重要模型。本文从案例的实际出发,在探讨线性规划模型解决问题过程中,创造性地引入正负偏离变量,将约束条件加以放宽,并灵活应用序惯算法,使一个线性规划的疑难问题得以圆满的解决。

关键词:线性规划;正负偏离变量;序惯算法

中图分类号:021    文献标识码:A

一、问题的引出

线性规划模型是数学建模的基本模型,在一定的条件下,对这一模型的优化,可使目标达到最优的决策,全国大学生竞赛题许多与有优化有关,并用软件加以解决。本文将从一个案例入手,利用数学模型探讨问题最优解法。

案例:某企业生产甲、乙、丙三种产品,这些产品分别需要在设备A、B上加工,需要消耗材料C、D,单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表一所示.已知在计划期内设备的加工能力各为200台时,可供应材料分别为360、300千克,每生产一件甲、乙、丙三种产品,企业可获得利润分别为40、30、50元.决策者根据企业的实际情况和市场需求,制定了几个经营目标,这些目标的优先顺序是:

(1)利润不少于3200元.

(2)产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5.

(3)提高产品丙的产量使之达到30件.

(4)设备加工能力不足可以加班解决,能不加班最好不加班.

(5)受到资金的限制,只能使用现有材料,不能再购进.

假定市场需求无限制,企业应如何安排生产,使总利润最大.

1、模型假设

假设表中的数据保持不变。

即:工艺不变;材料供应有保障;市场价格稳定。

2、建立模型

设: 分别为产品甲乙丙的产量(件)。

設备A的约束:

设备B的约束:

材料C的约束:

材料D的约束:

第一目标约束:

第二目标约束:

第三目标约束:

汇总为:

3、模型求解

使用lingo软件编程,进行求解。结果表明是无解。因此,线性规划模型利用传统的方法,无法寻求最优解。作为问题本身应该有优化解。

二、模型的分析与改进

考虑到案例中5个目标顺序中的前4个目标可考虑放松,第5个目标明确规定不能改变。

因此可将目标放宽为:

(1)利润为3200元左右;

(2)产品甲与产品乙的产量比例在1.5左右;

(3)提高产品丙的产量使之达到30件左右;

(4)设备加工能力不足可以加班解决,设备A和B可以考虑加班在200台时左右,但加班数最小。

为了解决这一问题,我们考虑引进正负偏差变量来进行处理:

假定

是两个偏差变量,且满足以下条件:

体现在模型中,就是将(2)、(3)、(6)、(7)(8)可以考虑放宽条件,结合题意,考虑引进目标函数,得到以下修改模型:

这样,原来的线性规划模型就转化成目标规划模型了。

三、使用序惯算法。

在处理正负偏差变量过程中,考虑到指数位置的正负号在lingo程序中不易表达,我们不妨规定:分别用s1,s2替代

具体来说,就是用s11,s12,s21,s22,s31,s32,s41,s42,s51,s52替代

因此,在lingo软件中,编程得到以下程序:

在运行这个程序时,把前面4个目标函数

按次序与约束函数逐一运行计算,得出结果代入下一程序进入计算,最终计算出所需结果,该运算法,称之为程序的序惯算法。具体过程操作如下:

运行lingo程序得到的结果如下:

结果显示s11=0,将其代入下一步程序中,在软件lingo中运行第二目标程序。

结果显示,s11=0,s22=0,将结果代入程序,再在linguo程序中运行第三目标程序命令。结果显示,s11=0,s22=0,s31=0,s32=0.将此结果代入程序,运行最后一个目标程序。

其显示的结果,用数学式表达如下:

四、模型的检验

将这些结果导入修改后模型中,

发现:设备B加班16台时,其余目标全部满足,其利润达到3220元,比我们原先计划3200元还多20元,这个结果正是我们所希望的!

五、结束语

利用lingo解决线性规划和非线性规划问题,是比较方便的方法。但是如果出现无解的情况,就需要考虑将约束条件进行适当的放宽。也就是在原条件得基础上引进正负偏差因素,并将正负偏差控制在最小的范围内,以便使约束条件不至于偏离原条件太远。在此过程中,必然需要引进目标规划函数,从而在新的条件下达到最优解。

参考文献

[1]  韩中庚.实用运筹学[M].北京:清华大学出版社.2007.

[2]  朱素玲李文婷刘秀英.变量选择偏离对预测的影响研究[J].决策与统计.2016.6.

[3]  田森.基于运筹学运输问题模型的电煤采购决策[J].工业技术创新.2017.1.

[4]  黄青群.浅谈最优化方法在数学建模中的应用[J].高教学刊.2016.11.

[5]  耿德志.线性规划求解算法研究[J].软件导刊.2011.6

作者简介:熊庆如(1964—),男,江西宜丰人,浙江东方职业技术学院教师,硕士学位,副教授。研究方向:数学教育。

基金项目:本文为浙江东方职业技术学院2018—2019年度院级课题:“双创”背景下高职产业学院的组织机制与培养模式的研究”(DF2018YB15)研究成果

猜你喜欢
线性规划
基于大学生选课问题的线性规划模型
集体活动的时间规划
新课程概率统计学生易混淆问题
基于多枢纽轮辐式运输网络模型的安徽省快递网络优化
线性规划常见题型及解法
基于多元线性规划的大学生理财计划问题研究
例谈线性规划思想在高中数学教学中的应用
大型超市前端收银排班优化策略
产品最优求解问题中运筹学方法的应用
可折叠桌的设计与研究