正负偏差变量在数学规划模型中的应用研究

摘  要：数学建模是利用数学思想和方法解决实际问题的一种方式，线性规划问题是数学建模的一项重要模型。本文从案例的实际出发，在探讨线性规划模型解决问题过程中，创造性地引入正负偏离变量，将约束条件加以放宽，并灵活应用序惯算法，使一个线性规划的疑难问题得以圆满的解决。

关键词：线性规划;正负偏离变量;序惯算法

中图分类号：021    文献标识码：A

一、问题的引出

线性规划模型是数学建模的基本模型，在一定的条件下，对这一模型的优化，可使目标达到最优的决策，全国大学生竞赛题许多与有优化有关，并用软件加以解决。本文将从一个案例入手，利用数学模型探讨问题最优解法。

案例：某企业生产甲、乙、丙三种产品，这些产品分别需要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表一所示.已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供应材料分别为360、300千克，每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元.决策者根据企业的实际情况和市场需求，制定了几个经营目标，这些目标的优先顺序是：

（1）利润不少于3200元.

（2）产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5.

（3）提高产品丙的产量使之达到30件.

（4）设备加工能力不足可以加班解决，能不加班最好不加班.

（5）受到资金的限制，只能使用现有材料，不能再购进.

假定市场需求无限制，企业应如何安排生产，使总利润最大.

1、模型假设

假设表中的数据保持不变。

即：工艺不变;材料供应有保障;市场价格稳定。

2、建立模型

设： 分别为产品甲乙丙的产量（件）。

設备A的约束：

设备B的约束：

材料C的约束：

材料D的约束：

第一目标约束：

第二目标约束：

第三目标约束：

汇总为：

3、模型求解

使用lingo软件编程，进行求解。结果表明是无解。因此，线性规划模型利用传统的方法，无法寻求最优解。作为问题本身应该有优化解。

二、模型的分析与改进

考虑到案例中5个目标顺序中的前4个目标可考虑放松，第5个目标明确规定不能改变。

因此可将目标放宽为：

（1）利润为3200元左右;

（2）产品甲与产品乙的产量比例在1.5左右;

（3）提高产品丙的产量使之达到30件左右;

（4）设备加工能力不足可以加班解决，设备A和B可以考虑加班在200台时左右，但加班数最小。

为了解决这一问题，我们考虑引进正负偏差变量来进行处理：

假定

是两个偏差变量，且满足以下条件：

体现在模型中，就是将（2）、（3）、（6）、（7）（8）可以考虑放宽条件，结合题意，考虑引进目标函数，得到以下修改模型：

这样，原来的线性规划模型就转化成目标规划模型了。

三、使用序惯算法。

在处理正负偏差变量过程中，考虑到指数位置的正负号在lingo程序中不易表达，我们不妨规定：分别用s1，s2替代

具体来说，就是用s11，s12，s21，s22，s31，s32，s41，s42，s51，s52替代

因此，在lingo软件中，编程得到以下程序：

在运行这个程序时，把前面4个目标函数

按次序与约束函数逐一运行计算，得出结果代入下一程序进入计算，最终计算出所需结果，该运算法，称之为程序的序惯算法。具体过程操作如下：

运行lingo程序得到的结果如下：

结果显示s11=0，将其代入下一步程序中，在软件lingo中运行第二目标程序。

结果显示，s11=0，s22=0，将结果代入程序，再在linguo程序中运行第三目标程序命令。结果显示，s11=0，s22=0，s31=0，s32=0.将此结果代入程序，运行最后一个目标程序。

其显示的结果，用数学式表达如下：

四、模型的检验

将这些结果导入修改后模型中，

发现：设备B加班16台时，其余目标全部满足，其利润达到3220元，比我们原先计划3200元还多20元，这个结果正是我们所希望的！

五、结束语

利用lingo解决线性规划和非线性规划问题，是比较方便的方法。但是如果出现无解的情况，就需要考虑将约束条件进行适当的放宽。也就是在原条件得基础上引进正负偏差因素，并将正负偏差控制在最小的范围内，以便使约束条件不至于偏离原条件太远。在此过程中，必然需要引进目标规划函数，从而在新的条件下达到最优解。

参考文献

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[4]  黄青群.浅谈最优化方法在数学建模中的应用[J].高教学刊.2016.11.

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作者简介：熊庆如（1964—），男，江西宜丰人，浙江东方职业技术学院教师，硕士学位，副教授。研究方向：数学教育。

基金项目：本文为浙江东方职业技术学院2018—2019年度院级课题：“双创”背景下高职产业学院的组织机制与培养模式的研究”（DF2018YB15）研究成果