方程(组)、不等式与直线的关系问题浅谈

涂兵

摘要：一次函数是八年级下册的内容，是承接函数与函数图像的重要环节。想要把一次函数与方程（组）及不等式联系起来，就需要把它的图像建构，从而轻松解决与方程（组）及不等式的相关问题。

关键词：一次函数；图像；方程；不等式

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）06-0123

一次函数是人教版八年级下册第十九章19.2的内容，是承接函数与函数图像的重要环节，是学生第一次接触函数与图像结合的内容、体会数形结合思想。本节内容跨度比较大，需要学生对函数概念有一定理解，对平面直角坐标系的点的坐标表示非常熟悉。

首先说函数。所谓函数，是指在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y就是x的函数。这里要明确函数的特征：同一个变化过程中的两个变量；一个变量变化，另一个变量也随之变化；一个变量每个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应。其次看点的坐标。平面直角坐标系中，每一个点的坐标是唯一的，都有一个横坐标和一个纵坐标。只要知道一个点的横纵坐标，就一定可以在平面直角坐标系中描绘出来。而函数的图像是通过取一个自变量的值得到一个因变量的值（函数值），以自变量的值作为横坐标、对应的函数值作为纵坐标，从而构成一个点的坐标，然后在平面直角坐标系内表示出来（即描点），形成这个函数的图像。对于函数图像上点的坐标的由来，在今后学习二次函数乃至n次函数图像都有重要意义。

一次函数是特殊函数，在绘制一次函数图像时所有的点汇成了一条直线，从而得出一次函数的图像是一条直线。需要说明的是，一次函数的图像不是人为地画成一条直线，而是所有点自然而然地形成一条直线。我们是通过描出一次函数所有的点，发现它的图像是一条直线，而不是描几个点、用平滑的线连成的。也就是说，所有图像上的点都是取一个自变量的值、通过解析式得到一個因变量的值，构成点的横纵坐标，在平面直角坐标系中描出来的。反过来，图像上点的横纵坐标，是这个一次函数一对自变量和相应因变量的值，满足一次函数解析式。

一次函数图像的由来必须要弄清楚，是重中之重，否则后续一次函数与一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式的关系，根本理不清头绪。既然一次函数的图像是一条直线，根据两点确定一条直线可知，只要有两个点的坐标，连接并延长，就能描绘这个一次函数的图像。可以看出，一次函数的图像比较好画，对我们解决与一次函数有关的问题是非常有利的。下面让我们来见识一次函数图像的妙用。

对于求解二元一次方程组，都可以转化为求两个一次函数图像（即两条直线）交点坐标问题。例如，解方程组2x-y=1与3x-y=1，可以转化为，在平面直角坐标系中，求直线y=2x-1与直线y=3x-1的交点坐标。画出两条直线，发现交点坐标为（0，-1），即原方程组的解为x=0，y=-1。而解方程组2x-y=1与-2x+y=3时，画出两条直线，发现两直线平行，不可能会有交点，即原方程组无解。

有时在解多道方程（组）及不等式时可以一步到位。按要求解答下列问题：（1）解一元一次方程：①2x-4=0，②x+1=0，③2x-4=x+1；（2）解二元一次方程组y=2x-4与y=x+1；（3）解一元一次不等式：①2x-4>0，②x+1>0；③2x-4>x+1；（4）求一元一次不等式组2x-4>0与x+1>0的解集。

这道题看似有四题七小问，但只要把一次函数y=2x-4和一次函数y=x+1的图像画出，解答就成了看图写话。画出一次函数y=2x-4和一次函数y=x+1的图像。对于此题第（1）小题①②可直接根据一次函数图像与x轴的交点横坐标可得①x=2，②x=-1。我们发现第（1）小题③和第（2）小题其实是一样的，答案都与这两条直线的交点坐标（③是求横坐标）有关，立即得出答案：③x=5，（2）x=5，y=6。对于此题第（3）小题①②可直接根据一次函数图像在x轴上方部分的x取值范围得①x>2，②x>-1。对于第（2）小题③，根据直线y=2x-4在直线y=x+1上方自变量的取值范围可得x>5。对于第（4）小题，就是找出一次函数y=2x-4和一次函数y=x+1的图像都在x轴上方部分自变量的取值范围，得x>2。

因此，只要是与一次函数、二元一次方程（组）、一元一次方程、一元一次不等式等有关问题，都可以利用一次函数图像（即直线）来解决。同样地，一次函数（图像）的问题，也可以转化为二元一次方程（组）、一元一次方程、一元一次不等式的问题。

懂得函数图像如何用坐标表示，图像代表的意义是什么，是学习一次函数的基础，通过图像来理解一次函数的性质，联系一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程（组），有效避免了复杂的运算过程，更加直观地感受到时了它们之间的关联，从而使问题简化。学会一次函数图像的应用，对今后的数形结合具有至关重要的作用。数无形不直观，形无数难入微，这就是数形结合的精髓。

（作者单位：江西省南昌二中昌北校区330000）