一道平面向量试题的多种解法及其拓展引申

广东 叶土生

(作者单位:广东省广州外国语学校)

一、提出问题

在一次我校与其他兄弟学校的联考中，填空题的压轴题是一道向量背景的题目，其题设如下:

本题总体得分率不高，很多的学生是从解三角形的角度研究本问题.向量是高中数学的重要组成部分，其本身自成一知识体系，其既有代数运算，又有几何直观的双重特性，还可以与其他知识(如函数、解析几何、三角函数)相互渗透，从而使得向量的考查形式变得丰富多彩.本文力求从多视角给出本题的解答并给出变式，希望对读者有所帮助.

二、试题的多种解法

以下是笔者在讲评试卷过程中，和学生一起探讨得到的多种解法.

以上解法通过建立平面直角坐标系，即解析法解决此题，思路简单且容易操作，是这一类问题的常见解法.向量有其特有的运算性质，蕴含着丰富的数学思想方法，而一道向量的问题仅仅给出解析法，就显得有点意犹未尽，而且从开发学生数学思维角度考虑，也需要对一个问题从多个角度研究解决方法，在讲评了解析法后笔者又引导学生一起探究其他三种解法.

课后，笔者的一位姓潘的学生给出了以下的解法，不妨称为“潘氏解法”.

解法四:(“潘氏解法”)

所以有6x+9y=5.

【评注】“潘氏解法”比以上几种方法都来的自然，并且运算量更小.他充分利用了几何性质，将代数与几何紧密地联系到一起，充分利用几何这一向量的“灵魂”，解法非常漂亮.从潘同学的解法也可以看出他可能得到前面几种解法的提示，也可能独立思考得到结果.这也提醒笔者在后续的教学中要充分利用好每一个“好题”，提升学生的数学思维能力，引导学生敢思考、主动思考、会思考.

三、试题的拓展引申

问题的题设给出了两边和一个夹角，从三角形的角度看，是一个确定性的问题.如果把条件弱化，是否可以有其他考查形式呢？笔者顺着这个想法在后续的课堂给出了两种改编，目的也是为了让学生学会从多个角度看待一个问题，提升学生能力.

分析:本题将△ABC两边的条件去掉，只给出角A的大小，△ABC是一个不确定图形，需要学生学会转化.本题的解决方法也可以有多种形式，但借用“潘氏解法”思路将会更加自然，以下给出“潘氏解法”思路，其他方法请读者自行思考.

解:如图，设AB=c，AC=b，取AB的中点D,AC的中点E，

则有OD⊥AB，OE⊥AC，所以

【评注】本题条件中没有给出三角形的边长，但当假设边长后就可以把问题转化为原问题的模型，所以解题思路是一样的，最后利用基本不等式得到最值.

【评注】本题将三角形的条件弱化，从题目的形式看这与前两个问题属于不同类型，但仔细分析发现它们都有很多的共同点，本质是一样的，所以解题方法也类似，最后采用整体代入得到结果.

四、反思

波利亚的数学教育思想中包含这样一个基本观点:数学具有双重性——数学既是演绎科学，又是归纳科学.在新课程的理念中，需要我们通过各种各样的教学方式提高学生的思维能力.探寻“一题多解”是提升学生发散性思维能力的过程，这是一个具有层次性的演绎过程，它在本质上与提升学生归纳思维能力的“通性通法”是相辅相成的，二者也是辩证统一的.新一轮课程改革正如火如荼地推进，对于课堂时效性的要求也越来越高.作为高中数学课堂的一线教师，就必须提高例题的典型性，并引导学生探究、概括一类问题的解法.通过“一题多解”可以开阔学生的思路，避免不假思索地做题.一题多解也是不少数学教师在解题教学时经常进行的一种教学方式，但是一题多解不能只是简单地展示一道习题的多样化解法，这对于提高解题教学效率意义不是很大.我们认为，要努力通过一题多解促进学生深刻理解与考题相关联的不同知识点，这才是一题多解的重要意义所在.