高考数学应用题分析与展望
——以近3年全国卷理科应用题为例

2020-11-15 10:09湖南周冬梅

教学考试(高考数学) 2020年3期

湖南周冬梅

强化对“应用意识”的考查，把高考内容与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活紧密结合，通过设置真实的问题情境，考查学生灵活运用所学知识分析、解决实际问题的能力，仍将是2020年高考命题的趋势之一，而高考数学应用问题承载着这一重要“使命”.2020年高考数学应用题如何考？以什么样的形式呈现？在高考日益临近的情况下，分析近3年高考全国卷理科试题考查特点和展望2020年高考命题趋势，对临考的复习颇有裨益.

一、试题特点分析

1.试题分布列表

2017—2019年全国卷理科数学对应用题的考查列表如下：

年份卷别题号考查内容2017卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ19(Ⅰ)正态分布,随机变量的概率和期望(Ⅱ)利用平均值和标准差进行预测3等比数列的通项和前n项和(数学文化)13二项分布及其方差18(Ⅰ)频率分布直方图(Ⅱ)2×2列联表,独立性检验(Ⅲ)相互独立事件的概率,中位数的估计值3折线图18(Ⅰ)随机变量的分布列(Ⅱ)数学期望2018卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ3饼图(经济背景)15计数原理,排列组合20(Ⅰ)二项分布的概率(Ⅱ)二项分布的期望,统计决策8古典概型,组合(数学文化)18折线图,线性回归方程,模型预测3三视图(数学文化)8二项分布的概率,随机变量的方差18(Ⅰ)茎叶图,样本数据分析(Ⅱ)茎叶图,2×2列联表 (Ⅲ)独立性检验

续表

2.试题特点分析

(1)对应用题的考查全国卷是每年必考，从未缺席.

(2)2017年应用题题量基本稳定在一小、一大，而2018年与2019年的应用题题量有所增加，多数情况是两小、一大的题量.题型分布在选择、填空、解答题中.

(3)位置居前，偶有偏后.特别是2018年全国卷Ⅰ的应用题在第20题出现，而2019年全国卷Ⅰ的应用题出现在第21题(压轴题)的位置，在中学数学界引起了不小的“波澜”.高考应用题呈现“重心后移”的趋势.

(4)考查的内容几乎是“清一色”的概率统计应用问题.也许是这方面的试题相对容易命制，但其实更体现了“应用题部分将数据准备阶段的步骤减少，给考生呈现比较规范的数据格式或数据的回归模型”的要求.

(5)多数应用题难度中等，数学建模相对轻松.而全国卷Ⅰ的应用题近两年的难度呈现上升的趋势，2018年在第20题，2019年则在第21题，处在压轴题的位置，全国卷Ⅰ连续两年的应用题，使得人们对待应用题也“另眼相看”了.

(6)应用来源于真实情景，采用真实数据，体现数学与社会生活的密切联系，增强试题情景的真实性和可靠性.

二、命题趋势展望

高考命题逐步从能力立意向核心素养立意转变，可以预见2020年的高考数学会继续努力实现全面考查数学核心素养的要求.作为承载着培育和考查“数据分析”与“数学建模”等数学核心素养的应用题，在2020年的考查仍是大势所趋，不可阻挡.根据上述对2017—2019年全国卷理科数学试题特点分析的基础上，对2020年高考全国卷应用题的命题趋势作如下几方面展望.

1.题量仍会是一小、一大或两小、一大，占近20分左右，且多属于中档题或较难题，仍分布在选择、填空、解答题中；

2.概率统计应用题仍将是命题的“主角”，至少不会受到冷落；

3.2020年高考承上启下，就全国卷而言，在原三套全国卷的基础上增加了“新高考”卷，在高考命题改革的背景下，求新、求变将是2020年高考数学命题的主旋律.为此，我们就2020年高考应用题的可能命题模式作如下三方面的预测(其中后两种预测颇为大胆)：

(1)应用题沿袭往年高考的考查模式，在解答题中，仍是以一道“概率统计应用题”的形式呈现，而且全国卷Ⅰ居于后两题的位置.

(2)应用题考查的题材呈现出多样化的趋势，除在小题中命制应用题外，在解答题中以两道应用题的形式呈现，在全国卷中传统意义上“概率统计应用题”不再是考查数学应用的“代名词”，而以函数(导数)、三角函数(解三角形)、数列、不等式乃至立体几何等知识为背景的应用问题登场亮相，概率统计应用题被划归为常规题型.

(3)应用题考查题意趋活、题型多样，在选择或填空题中，主要围绕统计、概率等知识的实际应用来命制；而在解答题中，只呈现一道考查函数(导数)、三角函数(解三角形)、数列等知识为背景的实际应用问题.

对于高考而言，不到试卷揭开神秘面纱的最后一刻，我们绝不轻言那些一定不考，对于一些冷门知识、冷门内容务必要准备在平时.礼记有云：凡事预则立，不预则废.比如概率应用题，再比如解析几何、立体几何、三角函数、数列等应用题，都要做好心理准备，概率小不等于不发生，以上三种预测哪种情形能在2020年高考中实现，让我们拭目以待.

4.对数学应用问题考查的侧重点仍将是现实客观事物的数学化，其背景可能是课本中包含着的大量应用性材料的深化或延伸；也可能来自当前社会的热点问题或具有现实意义的问题，比如国庆70周年、新冠肺炎等.

5.2020年高考的应用题部分仍会将数据准备阶段的步骤减少，给考生呈现比较规范的数据格式或数据的回归模型.采取“重心后移”的策略，把考查的重点后移到对数据的分析、理解、找规律，减少复杂的运算，突出对数学思想方法的理解和运用能力的考查，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养.

三、解题方法指导

应用题不同于一般的试题，它是从实际生活背景中抽取信息转化为数学问题的一种题型.对学生的阅读理解能力、抽象思维能力、建模解模能力都提出了较高的要求.因而在全国卷高考中备受命题者的青睐，成为数学考试命题中必不可少的特色“大餐”.解答数学应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对模型进行分析、研究，得到答案，然后再把答案返回到实际问题中，获取具有实际意义的结论.基本程序如下：

具体地说，解答数学应用题的一般步骤是：

1.审题：审题是解答应用题的起点，只有有效地审题才能准确理解题意，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念，分析已知条件，明确所求的结论，理顺数量关系，并注意挖掘隐含条件，从而将实际问题等价转化为数学问题.

2.建模：在审题的基础上，将已知与所求联系起来，用数学知识和数学方法，恰当地引入参数及变量，列出满足题意的数学关系式，即建立相应的数学模型.数学建模的关键在于对语言的理解和转换，即翻译.它包括：对陌生名词、概念的领悟；把通俗的文字语言、专业术语等转化为数学符号语言.

3.解模：在构建出数学模型后，就要运用我们所学的数学知识和方法来解答纯数学问题，得到数学结论.

4.还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的结论.

解答数学应用题应注意以下两点：

(1)消除心理障碍

许多考生一见应用题文字比较长、题目中的情境比较陌生，就望而生畏、置之不理.岂不知，这类问题实际上也是对心理素质的考验.所以要树立信心，提高心理承受能力，保持冷静，认真对待，切不可随意放弃，认真阅读完题目，可能发现此类问题并不难.

(2)排除语言障碍

数学应用题的情景，往往是当前社会的热点问题和具有现实意义的问题，非常贴近生活，所给的材料具有一定的“原始性”.许多考生往往不能很好地将“材料”与“模型”有机地结合起来，这就要求考生在解应用题时，首先应仔细读题，通过读题，抓住关键的数量关系，然后准确地翻译成数学语言.那么，怎样读题呢？比如说，可用加点画线的方法强调关键性的语句，再连贯读出，形成完整的问题；也可以用划分层次、归纳大意的方法从背景材料中提炼出需要解决的实际问题；或对多个数量进行汇集、归类，借助图表显现出已知量和未知量，体现出需要解决的数学问题；或者用改写的方法对应用题去掉枝叶，抓住主干，保留题中的数量关系，将实际问题转化为数学问题.

四、题型示例点拨

下面举例归纳构建数学模型解决实际问题的几种常见题型.

1.函数实际应用问题

用函数理论解决实际问题，是学习函数最重要的目的之一.而构建函数模型的关键，是找到函数的对应法则“f”，通过利用函数性质或导数知识求解.

(1)分别将A，B两种产品的利润y表示为关于投资金额x的函数关系式；

(2)该企业筹集到35万元资金，并全部投资到这两种产品的生产，问：怎样分配这35万元的投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

图1

图2

解析：(1)对于A产品：y=0.15x(x≥0);

点评：本题需要在阅读理解和识图的基础上，根据题意条件建立函数模型，然后利用导数求解，体现了函数模型在解决实际问题中的广泛应用.

2.数列实际应用问题

【例2】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为

( )

A.110 B.114 C.124 D.125

点评：本题以“杨辉三角”为背景，考查了等差数列和等比数列前n项和公式的应用.

3.三角实际应用问题

通过构建三角模型，特别是运用正、余弦定理解决实际应用问题是高考考查的重点.熟练掌握并灵活运用知识是解决问题的关键.

(Ⅰ)若绿化区域△ABC的面积为1 km2，求道路BC的长度；

θ(0,π6)π6(π6,2π3)f'(θ)-0+f(θ)↘极小值↗

点评：(Ⅰ)利用余弦定理求解;(Ⅱ)构建角θ的三角函数，然后利用正弦定理、三角恒等变换和导数求解，体现了知识间的综合运用.

4.几何实际应用问题

有些数学应用题带有明显的“几何”(平面几何、立体几何、解析几何)特征，这类问题自然是应用几何的基础知识求解.

【例4】如图为中国民间智力玩具鲁班锁，起源于古代中国建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为2，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，若球形容器表面积的最小值为120π，则正四棱柱的体积为________.

设正四棱柱的高为h，所以22+42+h2=120，解得h=10，所以正四棱柱的体积为V=2×2×10=40.

点评：中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩等主要构件建造而成，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架，称为榫卯结构.榫卯是极为精巧的发明，成了后代建筑和中式家具的基本模式.本题以中国古建筑借助榫卯连接木构件为背景，命制了一道球与多面体的组合体问题，利用球与内接正四棱柱的关系求解.

5.概率统计实际应用问题

概率统计试题的核心是考查“数据分析”素养，在高考中，概率统计问题注重情景设置，贴近生活，使学生在解题过程中认识到概率与统计知识在生产、生活中所起的作用.主要是以数学应用解答题的形式出现，是近年来高考考查实际应用的常考题型.

例5.下面给出了根据我国2012年-2018年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年-2018年的年份代码x分别为1-7).

(Ⅰ)根据散点图分析y与x之间的相关关系；

(Ⅲ)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.(精确到0.01)

解析：(Ⅰ)由散点图可以看出，当x由小变大时，y也由小变大，从而y与x之间是正相关关系.

(Ⅲ)由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好.

点评：本题以统计的散点图和线性回归方程的残差图为背景，考查了线性回归方程的求解和残差图中拟合效果的分析与应用.

五、教学感悟启示

1.如何用所学的数学知识解决现实生产、生活中存在的问题，一直是数学学习的最高要求.高考试题中每年都会有专门的试题考查考生数学应用能力.在如今的大数据时代，整理数据、分析数据、进行决策和判断是数学应用的大方向.因此，高考复习临考阶段的教学要增强和训练应用数学的意识，一方面通过背景材料，指导学生进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理，得出数学概念和规律；另一方面更重要的是指导学生能够运用已有的知识将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型.

2.数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文.因此，教学中指导学生求解高考数学应用题时要做到“有头有尾”，把问题中的文字语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案.