数学分析方法在现代控制理论中的应用

刘帅 王立成

摘 要 数学分析是高校数学专业学生的一门基础专业课，其蕴涵的丰富内容和精深的思想方法为后续各学科理论学习提供了坚实的基础。在数学分析教材中，言语精炼、概念抽象、推理严密的理论证明和繁杂的计算无处不在，在证明和计算过程中使用到的思想、方法和知识为其他自然科学和工程科学提供了研究方法和手段，也在理论和应用之间架起了桥梁。数学分析的学习既有助于加深对数学理论和内容本质的规律性认识，又对将数学理论应用于实际工业生产生活中起到了促进作用。此外，现代控制理论是利用现代数学方法和计算机来分析、综合复杂控制系统的新理论，其发展离不开数学理论的推動，多种数学工具结合来解决控制与系统科学中的一些问题已成为一种规律。本文将着重探讨数学分析方法在现代控制理论中的相关应用。

关键词 数学分析 现代控制理论 泰勒级数 极值原理 多重积分 函数一致收敛性

中图分类号：O17                                   文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2020.09.034

Abstract Mathematical analysis is a basic professional course for students majoring in Mathematics in Colleges and universities. Its rich contents and profound thinking methods provide a solid foundation for the follow-up theoretical study of various disciplines. In the teaching materials of mathematical analysis， theoretical proof and complicated calculation with refined language， abstract concept and strict reasoning are everywhere. The ideas， methods and knowledge used in the process of proof and calculation provide research methods and means for other natural and engineering sciences， and also build a bridge between theory and application. The study of mathematical analysis not only helps to deepen the understanding of the regularity of mathematical theory and content essence， but also promotes the application of mathematical theory in actual industrial production and life. In addition， modern control theory is a new theory that uses modern mathematical methods and computers to analyze and synthesize complex control systems. Its development is inseparable from the promotion of mathematical theory. It has become a rule to solve some problems in control and system science by combining various mathematical tools. This paper will focus on the application of mathematical analysis method in modern control theory.

Keywords mathematical analysis; modern control theory; taylor series; extremum principle; multiple integral; uniform convergence of functions

0 引言

“数学分析”[1]是分析学中最古老、最基本的分支，它以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助于我们应用在对物理世界的研究，发现自然界的规律。此外，数学分析中的极限理论、函数连续理论以及积分理论等渗透于理论研究的方方面面，为各专业理论研究的发展起到了重要的桥梁作用。

现代控制理论[2]形成于20世纪50年代末，是建立在状态空间模型基础上的，其两大核心分别是最优控制理论和最优估计理论（Kalman滤波理论）。特别地，状态空间模型的建立为接下来现代控制理论的发展和繁荣奠定了坚实的基础。由于状态空间模型可能是线性的、非线性的、定常的、时变的、连续的、离散的，因此，在分析这些模型的过程中，数学分析、线性代数、矩阵论等数学工具发挥着巨大的作用。

1 主要结果

在这一部分，我们将着重讨论几类数学分析方法对现代控制理论发展中起到的重要作用。具体地包括：泰勒展开技术在扩展卡尔曼滤波问题中的应用;极值原理在最优控制问题中的应用;多重积分在时滞系统中的应用以及函数的一致收敛性在李亚普诺夫意义下一致稳定概念中的应用。

1.1 泰勒级数展开在扩展卡尔曼滤波问题中的应用

Kalman滤波算法[3]是在1960年由Rudolf E. Kalman第一次提出的，随后他发现这一算法对预测阿波罗计划的轨道非常有用，从此，卡尔曼滤波在航空航天、现代通信以及计算机视觉等领域获得了广泛的应用。Kalman滤波的主要思想是：利用线性系统状态方程以及一段时间内一系列受噪聲污染的观测值，来对未知状态进行最优估计的算法。众所周知，对于线性高斯系统，传统的卡尔曼滤波算法可以在最小均方意义下获得最优的滤波器增益。

然而，实际的工程系统经常受到外部环境中一些不确定因素的影响，导致系统呈现非线性特性，针对非线性高斯系统，处理方法有扩展卡尔曼滤波算法、无迹卡尔曼滤波算法和粒子滤波算法等。特别地，扩展卡尔曼滤波算法核心思想是：对非线性函数的泰勒展开式进行一阶线性化截断，忽略其余高阶项，从而将非线性问题转化为线性问题，继而可以用传统卡尔曼滤波算法进行处理。而线性化过程用到的主要数学方法就是数学分析教材中的泰勒公式。具体地，考虑如下离散时间非线性高斯系统：

其中，和分别是待估计的状态向量和传感器的测量输出，表示维欧式空间;过程噪声和测量噪声分别是零均值的高斯白噪声序列。

根据方程（1）中的测量输出，可以构造两阶段卡尔曼滤波器，其具体结构此处省略。定义是时刻的状态估计值，是时刻对时刻的状态的预测值。在计算滤波误差协方差矩阵的过程中会遇到如下两项：和，而这两项的处理需要用到泰勒展开公式。

具体地，对在估计值处进行泰勒展开并忽略高阶项可得以及对在预测值处进行泰勒展开并忽略高阶项可得进行线性化处理之后，接下来就可以采用传统地卡尔曼滤波算法进行计算。

由此可见，泰勒展开技术的使用可以将难以处理的非线性滤波问题转化成为经典的卡尔曼滤波问题，大大简化了计算的复杂度。

1.2 极值原理在最优控制问题中的应用

线性二次最优控制问题[4]是控制理论的一类经典问题，早在20世纪50年代就有专家学者进行了研究，现在已经发展的非常成熟，也取得了非常丰硕的成果。该类问题的受控对象为线性系统，目的是获得最优的容许控制，使得性能指标泛函最小。在求解最优容许控制律的过程中，经常会使用的一种方法就是数学分析教材中的极值原理。具体地，考虑如下连续时间线性系统状态方程：

其中，为维状态向量和为维控制输入，为初始状态，和是已知的具有适当维数的矩阵。

接下来构造如下性能指标，其是关于状态变量和控制变量的二次型函数的积分形式：

由此可见，利用极值原理可以获得线性二次最优控制问题的最优控制率，而且该控制率是一个反馈控制律，能方便地实现闭环最优控制，这在工程应用上具有十分重要的实际意义。

1.3 多重积分在时滞系统中的应用

所谓时滞是指系统的状态变化不仅取决于当前时刻的状态还受过去状态的影响，时滞的存在对系统性能会产生极大的影响，甚至可能造成系统不稳定。在实际工程系统中，时滞可能是系统本身的特性也可能是网络化系统中发生的通讯时滞，而常见的时滞通常包括：常时滞、时变时滞、分布式时滞以及它们之间相互组合而成的混合时滞。在分析时滞系统的稳定性问题时，常用的是采用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，即构造时滞依赖的Lyapunov函数，[5-7]然后结合线性矩阵不等式技术，可以获得使系统稳定的充分条件。具体地，对于带有时变时滞的连续时间系统，其时变时滞满足，我们通常构造如下的Lyapunov泛函：

其中，，以及，这里P，Q，R是待求的正定矩阵。通过让的关于时刻的一阶导数小于零，可以获得一系列线性矩阵不等式条件使系统稳定。

由此可见，多重积分引入可以有效地构造时滞依赖的Lyapunov泛函，接下来，在对多重积分关于时间求导的过程中，多重积分的求导法则也将被利用来证明系统的稳定性。

1.4 函数的一致收敛性在李亚普诺夫意义下一致稳定中的应用

在数学分析教材中，一致收敛性是函数的一条重要性质，具体地，函数一致收敛[1]的定义为：对于任意给定的正标量，存在，使得对于任意的以及任意的，有成立，则称函数构成的函数族在集合上关于基一致收敛到函数。该性质对今后无论是数学理论的发展还是控制理论的发展都起到了重要的作用。

1892年俄国学者李雅普诺夫在其发表的著名文章《论运动稳定性的一般问题》中第一次提出了用于分析系统稳定性的理论，即若一个动力系统从任何初始条件出发的轨线均能维持在平衡态附近，那么可以称为李雅普诺夫稳定。（下转第81页）（上接第70页）具体的李雅普诺夫稳定又可以分为：渐近稳定、指数稳定、大范围稳定以及一致稳定。特别地，李雅普诺夫意义下的一致稳定意味着，若系统在初始时刻为李亚普诺夫意义下稳定，那么系统在取自时间定义区间上的所有初始时刻均为李亚普诺夫意义下稳定，[8]该定义主要利用了函数一致收敛的概念。

2 结论

俗话说“工欲善其事，必先利其器”，数学分析相关知识在控制理论的发展和研究过程中发挥着重要作用，这些知识的灵活运用为丰富控制理论的研究内容、研究方法以及应用场景提供了可能。从列举的几个应用场景来看，用数学分析的思想和方法来处理或解释控制理论中的相关问题，往往描述简单准确且便于抓住实质。因此可以断言，数学分析的理论和方法是现在控制理论的重要数学基础，而在今后的研究中，我们将进一步深入探究数学分析的理论和方法，拓展其在控制理论研究中的应用范围。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].高等教育出版社，2010.

[2] 藤井隆雄.控制理论[M].科学出版社，2003.

[3] R. E.Kalman.A new approach to linear filtering and prediction problems[J].Journal of Basic Engineering，1960.82：35-45.

[4] 褚健，胡协和，钟锷，陈虹.离散时滞系统最优跟踪控制及应用[J].自动化学报，1995.21（1）：25-32.

[5] 吴敏，张先明，佘锦华.线性时滞系统的时滞相关鲁棒控制[J].控制理论与应用，2005.22（4）：649-652.

[6] 何勇，吴敏.多时变时滞系统的鲁棒稳定及有界实引理的时滞相关条件[J].控制理论与应用，2004.21（5）：735-741.

[7] 张传科.时滞电力系统的小扰动稳定分析与负荷频率控制[D].中南大学，2013.

[8] 郑大钟.线性系统理论（第二版）[M].清华大学出版社，2002.