化动为静：解决与圆有关的动态问题

文 陈小锋

旋转的齿轮、飞驰的车轮，万物都在运动变化当中。但静和动只是相对而言，变化中也蕴含着某些不变的因素，因此我们只要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，就能从中找到解决问题的突破口。下面老师选取了几个和圆有关的动态变化问题和同学们交流分享，一起总结解题经验。

一、图形旋转

例1（2020·四川乐山）在△ABC中，已知∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=1。如图1所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′。则图中阴影部分面积为（ ）。

【分析】如图2，△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′，阴影部分的面积可以由大扇形CAC′的面积减去小扇形DAB′的面积再减去△AB′C′的面

二、图形平移

积得出。∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=1，可求出AC=2，AB=，大扇形CAC′的面积=π，∠DAB′=60°，小扇形DAB′的面积=π，△AB′C′的面积=，所以阴影部分的面积=。

【答案】B。

【点评】本题的“动”只是过程，“静”才是结果，利用静态图形，以“静”制“动”，分析构图特征和关系就可以完成解题。

例2（2013·湖北宜昌）半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上。

（1）过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点。

①填空：如图3，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是________；

②如图4，当E、A、D三点在同一直线上时，求线段OA的长。

（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图5），至边BC与OF重合时结束移动，M、N分别是边BC、AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围。

【分析】（1）①如图3，当点A在⊙O上时，OE=2cm，OB=4cm，所以在Rt△OBE中，∠EBA=30°；②由△EOA∽△BOE，可得，又有OE=2cm，OB=OA+2cm，所以OA（2+OA）=4，解得OA=，因为OA＞0，可得OA=。

（2）扇形MON的面积由∠MON的大小决定，∠MON的大小又和弦MN的长度相关，所以弄清正方形运动过程中线段MN的变化范围，求出对应圆心角的大小即可解决。

解：（1）①30°；②OA=。

（2）如图6，当N、M、A分别与D、B、O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2）；如图7，当MN=DC=2cm时，此时O为AB中点，MN最小，由ON=MN=OM，可得∠NOM=60°，S扇形MON最小（cm2），可得π≤S扇形MON≤π。

【点评】解决本题的关键在于化“动”为“静”，找到临界状态，根据题意画出图形。但我们首先要找到影响扇形面积的关键因素，即圆心角的大小，再把圆心角的大小范围转化为圆心角所对的弦或弧的大小范围。

三、图形翻折

例3（2020·四川达州）如图8，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（ ）。

【分析】如图9，点O′是点O关于弦AB的对称点，由图形折叠的对称性及恰好与OA、OB相切，不难得出四边形OAO′B为正方形，所以∠BOA=90°，劣弧AB的长等于圆周长的。

【答案】B。

【点评】遇翻折问题，我们可利用对称原理构造基本图形（如正方形OAO′B）打开解题思路，其关键依然在于化“动”为“静”，以“静”制“动”。

四、点的运动

例4（2020·江苏连云港）如图10，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为________。

【分析】如图11，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB，∠OCA=90°，C点的运动轨迹为以OA为直径的圆。那么将直线平移，和以OA为直径的圆相切时的切点C′即为所求，所以过以OA为直径的圆的圆心M作直线的垂线，垂足为点N，利用△MDN∽△EDO，由，可得，，所以△C′DE面积的最小值=。

【答案】2。

【点评】此题中动点B是主动点，由中点、垂径可以判断出点C运动的轨迹为以OA为直径的圆。“动”“静”结合，合理化归，才能解决问题。