从积分的角度寻求一道函数零点问题的解法

陕西省西安市第七十中学 (710003) 万 颖

函数零点问题是近年来高考的热点问题，考查学生的逻辑推理能力、分析问题能力和创新意识，有时会以高等数学相关知识为背景.微积分是高等数学里的核心，也是数学的基础学科，以导数为工具研究函数的单调性、极值、最值和零点问题是高中数学学习的重要内容，下面笔者从高等数学中积分的角度去探索一道高中函数零点问题的解法，以开拓解题思路，发散解题思维，提升数学素养.

题目已知函数f(x)=lnx-kx,k∈R，若是x1,x2函数f(x)的两个不同的零点，求证：lnx1+lnx2>2.

定积分的相关概念和简单应用在高中已有所涉及，本解法所涉及高等数学中定积分的换元法、定积分的保序性、牛顿莱布尼茨公式的逆用等概念和方法，对学生的理解具有一定的挑战性，但解法创新巧妙，逻辑推理严密，可以起到锻炼学生思维、培养学分析问题的能力的作用，也可作为开放性的教学活动和学生的研究性学习.

德国数学家F·克莱因倡导“高观点下的初等数学”意识，认为基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学问题.将高等数学的理论、思想、方法迁移到高中数学中，可以帮助我们从更高的角度把握某些数学问题的实质和关键.高中教师应在吃透教材、研究解题技巧的同时，关注高等数学和初等数学之间的联系，创新解题思路，拓宽学生视野，培养学生良好的学习素养.