一道质检函数压轴题的多解及推广

四川师范大学数学科学学院 (610068) 纪定春 夏逸天

函数压轴题是高考数学的重要题型．从直接法、导数定义法、指数不等式法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、洛必达法则、等价替换、函数凹凸法等视角，对一道百校联盟2020届教育教学质量监测函数压轴题进行了解法探究，并对该题进行了推广．

1.试题呈现、分析与评注

(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；

(2)若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)

分析：问题(1)运用导数方法易得,过程略．对于问题(2)，欲求f(x)1+x+ax2恒成立时参数a的取值范围．

评注：该试题的形式优美、结构简单、思路开阔、解法多样，且蕴含丰富的数学思想，如分类、参数、极限、构造、化归等思想，是一道值得探究的好题，下面将主要对问题(2)进行解法探究和推广．

2.解法探究

此处可继续用柯西中值定理、洛必达法则、构造导数定义，此处不再给出具体的步骤．

解法6：(洛必达法则)由解法2可知：a<

3.问题推广

推广3 对任意x∈(0,+∞)，不等式xex>1+ax+lnx恒成立，求实数a取值范围．

提示：用xex=elnx·ex=ex+lnx>1+x+lnx，当且仅当“x+lnx=0”时等号成立．

推广4 对任意x∈(0,+∞)，若不等式xex>1+x+lnx+a(x+lnx)2恒成立，求实数a取值范围．

推广5 对任意x∈(0,+∞)，n>0，若不等式xenx>1+ax+lnx恒成立，求实数a取值范围．

提示：解决方法同推广3．当且仅当“nx+lnx=0”时，等号成立．

推广6 若对任意x∈(0,+∞)，n>0，若不等式xenx>1+nx+lnx+a(nx+lnx)2恒成立，求实数a取值范围．

推广7 对任意x∈(0,+∞)，m>0，若不等式xmex≥1+x+mlnx+a(x+mlnx)2恒成立，求实数a取值范围．

提示：解决方法同推广4、6．当且仅当“x+mlnx=0”时，等号成立．

推广8 对任意x∈(0,+∞)，mn>0，若不等式xmenx>1+nx+mlnx+a(nx+mlnx)2恒成立，求实数a取值范围．

以上推广，可以根据学生的具体情况，有选择的将其纳入数学课堂教学．