一道竞赛题的巧解及推广

钟锦浩

(广东省中山市濠头中学高二(9)班, 528437)

由于复数具有代数、几何形式等多种表示方法，故根据问题特征借助复数求解,能使得解题过程简捷、高效.本文借助复数进行赋值对一道二项式竞赛试题的系数和问题进行解析,并对该题的结论作出推广,得到若干有关组合数的结论,希望给大家带来启迪.

一、赛题呈现

试题(2017年全国高中数学联赛河北省预赛题)设(1+x)2017=a0x2017+a1x2016+a2x2015+…+a2016x+a2017,则a1+a5+a9+…+a2017的值为______.

解分别取x=1,x=-1,得(a0+a2+a4+…+a2016)+(a1+a3+a5+…+a2017)=22017,(a0+a2+a4+…+a2016)-(a1+a3+a5+…+a2017)=0,两式相减,得

a1+a3+a5+…+a2017=22016.

①

再取x=i,得(a1+a5+…+a2017)-(a3+a7+…+a2015)+[(a0+a4+…+a2016)-(a2+a6+…+a2014)]i=21008(1+i),于是有

(a1+a5+…+a2017)-(a3+a7+…+a2015)=21008.

②

结合① 、② 两式,可得a1+a5+a9+…+a2017=22015+21007.

评注赋值法是解决二项式中系数和的常用方法.首先令x=1,x=-1，可以得到间隔项的系数和；在此基础上再令x=i进行求解,体现了虚数单位i在求和中的妙用,极大地提高了解题效率.

解答完此赛题,我们进一步分析其他项的系数和规律.

变式设(1+x)2017=a0x2017+a1x2016+a2x2015+…+a2016x+a2017,求a0+a4+a8+…+a2016的值.

解同上,分别取x=1,x=-1并相加,得

a0+a2+a4+…+a2016=22016.

③

再取x=i,得(a1+a5+…+a2017)-(a3+a7+…+a2015)+[(a0+a4+…+a2016)-(a2+a6+…+a2014)]i=21008(1+i),于是有

(a0+a4+…+a2016)-(a2+a6+…+a2014)=21008,

④

由③ 、④ 两式,可得a0+a4+a8+…+a2016=22015+21007.

同理可求得a2+a6+a10+…+a2014=22015-21007;a3+a7+a11+…+a2015=22015-21007.

二、推广结论

以上结果的特征启示我们,这个结论能否推广到一般情形呢?答案是肯定的.

A0+A1+A2+A3=24n+1,

⑤

A0-A1+A2-A3=0,

⑥

-A0i+A1+A2i-A3=-i(1+i)4n+1,

⑦

A0i+A1-A2i-A3=i(1-i)4n+1,

⑧

类比结论1,很容易得到以下结论(此处证明不一一赘述).

通过以上实例, 我们可以看出, 巧借复数解二项式的系数问题使得运算过程简捷方便,结论准确可靠;若不借助复数,问题将难以得到高效地解决.同学们在平时做题时应多加留意, 多加运用.下面再给一道类似习题,供有兴趣的同学练习.

练习题若(1+x+x2)1000=a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,则a0+a3+a6+…+a1998的值为______.

(参考答案:3999)