妙用圆锥曲线的不变性解题

鲁 倩 张 裕

(江苏省句容高级中学，212400)

圆锥曲线是解析几何的核心部分,试题从不同的角度对问题进行表征,对逻辑思维与推论运算有较强的要求.笔者将圆作为椭圆的类比源,对其定点定值问题追溯,探索得到圆锥曲线的几个不变性质,利用这些性质可以拓宽圆锥曲线题的解题视角,起到事半功倍的效果.

我们知道,圆上任意一点和直径的两个端点的连线相互垂直.类比到椭圆,可得：

(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

(2)过原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.

(i)证明:∆PQG是直角三角形;

(ii)求∆PQG面积的最大值.

(ii)略.

评注本解法从图形隐藏的不变性解决问题,大大减少了计算量,可以起到事半功倍的效果.

过圆上一点P作两条相互垂直的弦PA,PB,则直线AB过定点(圆心)．类比到椭圆可得如下性质.

类比椭圆,同理可证双曲线有如下性质(具体过程略).

性质4设点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)上,则抛物线的以点P为直角的顶点张角所对弦所在的直线恒过定点(2p+x0,-y0).

证明设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=ty+m.与抛物线方程联立,消去x可得y2-2pty-2pm=0,于是y1+y2=2pt,y1y2=-2pm.

故直线AB的方程为x=ty+x0+ty0+2p,变形得x-(2p+x0)=t(y+y0),由此可知张角为直角的弦所在直线恒过定点(2p+x0,-y0).

例2如图2，已知直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,-1),则p的值为______.

评注由于填空题无需解题过程,本解法表明熟悉圆锥曲线的不变性质,借助抛物线中张角为直角的弦AB过定点E(2p,0),轻松获得关于p的方程,避免了复杂计算,使问题迎刃而解.

(1)求C的方程;

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)

=0.

①

以上几例圆锥曲线问题,均可挖掘题目中隐含的结论从而给出解法.这就告诉我们,在解决圆锥曲线问题时不要只拘泥于常规方法、大量计算,需要扩大眼界、创新思维,登高望远,使得题目迎刃而解.