浅入深出溯源 回归数学本真——以“圆的方程的几种常见形式”为例

朱 伟

(江苏省木渎高级中学，215101)

本文结合一节“圆的方程”复习课中的教学片段,谈谈追根溯源、回归数学本真的热门话题.

一、教学片段

在以前的教学中,学生对教材涉及的圆的标准方程、圆的一般方程其产生原理和应用特点有了较充分的认知,能较好地解决常见的程序性问题.本设计在轨迹方程的基础上再进行拓展外延,培养学生回顾反思、类比创新能力.

案例已知平面内两点:A(2,0),B(4,0).

问题1若C(1,2),求∆ABC外接圆的方程.

(利用多媒体呈现问题,并提问解题思路)

生1:所求圆就是过A,B,C三点的圆,故设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别代入点坐标,可通过方程组得D=-6,E

师:很好,你采取了求“过不共线三点的圆”的常用方法,计算也很准确.大家还有其他想法吗?

师:非常好,我们不仅可以从代数(解析法)角度待定圆方程中各参数,也可以从几何角度确定圆心与半径来求解圆的方程(几何法).看来大家对圆的方程还是有比较深刻的认识的.下面我们继续研究

问题2求以AB为直径的圆的方程.

生3:因为AB是直径,所以线段AB中点即为圆心E(3,0),半径r=AE=1,所以所求圆的方程是(x-3)2+y2=1.

师:非常棒!波利亚说:“在执行你的解题方案时,需要检查每一个步骤,并且能清楚地看到这个步骤的正确性以及能够证明它的正确性.”你做到了这一点,思考清晰且全面.下面再看两个变式.

师:不错,直接代入化简求得点P的轨迹方程是一个圆.那下面这个问题呢?

师:很好!你考虑全面,计算准确,等式两边都整理成完全平方,再向着圆的方程形式进行演变,实在是妙!

师:利用圆的几何性质求解,通过条件想办法确定圆心和半径,另外一半请同学完成．(如图1,教师利用几何画板作出图形)

师:(等大部分学生演算完毕后)显然,几何法减少了一些复杂的化简过程,这两种方法都是科学有效的.你通过问题2及其变式得出什么结论吗?

生8:求解圆的方程时,我们有几何法和代数法.

生9:它们本质上都是轨迹方程,并且可以发现，“平面内动点P与定长的两个端点(或两个定点)所成角为定值或数量积为定值,那么该动点P的轨迹是圆(或部分圆).”

师:很棒!你们不仅看到了解题策略,而且看出了数学模型的本质——轨迹.对轨迹中的特殊部分也作出了规范,非常不错！

问题3若平面内一动点P满足AP=2BP,求点P的轨迹方程.

师:很好!你能用自己的语言叙述问题3及其结果吗?

生10:平面内到两个定点距离比是2的点的轨迹是圆.

师:把条件稍微变一下,结果怎样?

变式2若平面内一动点P满足AP=BP,求点P的轨迹方程.

生12:易知点P在线段AB的中垂线上,即点P的轨迹方程是x=3.

师:很好！那么,你能从问题3及其变式得到什么启示呢?

生13:刚才通过设AP=tBP(t≠1),得到平面内动点到两个定点的距离之比不为1时,动点的轨迹都是圆.

师:这个结论完全正确.早在公元前3世纪,古希腊阿波罗尼斯借助前人对相关动点问题的探索,历经多年研究写了一部划时代的巨著《圆锥曲线》,书中详细论述了“六个轨迹问题”,其中之一便是“平面内动点到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”,后世称“阿波罗尼斯圆”.

问题4若平面内一动点P满足AP2+BP2=10,求点P的轨迹方程.

生14:设动点P(x,y),代入条件可得点P的轨迹方程是x2+y2-6x+5=0,也是圆.

师:通过这组题目有什么发现吗?

生14:首先,本质上都是轨迹问题,只是有的轨迹是已知的,有的却需要推导;其次,思维方法都是几何法、代数法.

师:很好!不仅求圆的方程有几何法、代数,求轨迹方程同样如此,而且这些问题的本真即轨迹问题.

设计意图例题以平面内两个定点为基础,不断追问及变式,演化圆的多种形式,关注思维过程，突出细节,揭露系列问题的本质与本真——轨迹方程.其中,试图通过问题2及变式,让学生能从具体到抽象、概括解决问题的一般方法;而问题3及其变式是“阿波罗尼斯圆”的特例,希望学生能顺利地得到一般结论,进而介绍其背景,渲染数学文化;问题4,不拘一格,最终揭示数学本真.

二、教学回顾与感悟

波利亚说:数学教学的目的在于培养学生的思维能力和思维品质.课堂教学需要在落实“四基”、培养“四能”的同时，关注学生数学核心素养的形成和发展.回顾本节课的教学片段,从源自教材又贴近数学本真的例题出发,通过师生互动,渗透数学基本思想方法,展现数学文化,经历数学思考,让学生积累基本活动经验,提升解决问题能力,突出了学生的主体性、参与性和认知的渐进性,课堂教学效果基本达到预期.

1.浅入深出,回归数学本真

不少复习课往往设置一些“深”问题,通过层层剖析发现“浅”道理,赢得很多崇拜,也使一部分基础薄弱的学生自叹望尘不及.《学习的革命》中提到:人的头脑不是一个被填充的容器,而是一支需要点燃的火把.数学是一门思维科学,在强调创新的基调下不能削弱基础,基础中蕴藏数学思想和方法,是纯净数学思维的体现.本案例中的浅例直通学生的认知起点,可以增强学习信心,营造积极思考的课堂氛围,有效驱动求知欲望,助力旧知识演化为新知识.浅入深出式的创设教学情境,通过层层诱导让学生拾阶而上,从数学概念到数学思维,从数学模型到数学文化,返璞归真,在寻求数学本真的过程中把握数学本质,将“纯净的浅道理”交织重组成“富有高度的深知识”.

2.有效追问,提升数学思维

本案例中设置的承上启下的问题,触发学生思维,生成圆的方程不同形式,探寻解决动点问题的本真.轨迹方程教学过程的推进依靠学生自身积极思维活动配合,有效设问以学生最近思维发展区为起点,层层递进，环环相扣，带领学生探寻数学问题的本质,拓展数学眼光,提升数学思维品质.

3.关注生成,促进师生共长

新一轮课程改革要求教学中以学生为主,提倡学生采取独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式,使得我们的课堂不再是单向、封闭、静态的知识传授,而是师生多向、开放和动态的对话、交流过程.教学应该是一个动态生成的过程，这个过程应该包括预设生成以及不确定生成.如本案例中圆的几种方程形式的生成，是在预设之中,但学生自主探索并成功获取解题模型及论证“阿波罗尼斯圆”就属不确定生成,是一个惊喜.在教学过程中,即时生成需要教师智慧的处理，才能取得良好的效果,或纠正不足或引导完善,或给予充分的肯定.

4. 共享人文,培育综合素养

在一轮课改中,很多教师不再仅追求课堂所授知识的“满”“全”“细”,而是有意识地引入一些比较基本的数学文化内容,如数学家、数学史、数学思维等，力图通过弘扬正确人生观、价值观、世界观，落实数学教育立德树人的根本任务;通过共享数学眼光、数学思想、数学精神，增强数学学习的信心与激发更大的学习热情,培育适应现代社会应具备的综合素养.本案例中通过肯定学生的发现与共享数学家的发现历程,不仅使得课堂更富有活力,也使其更具有了培养学生综合素养的高度.共享数学文化,可以是一个数学知识的发生与发展过程，一位数学家的典故，一句数学家的名言.正如丘成桐先生说:“ 以简驭繁,这是一种很美好的感觉.”

数学是一门思维的科学,它承载着思想和文化.不具备数学眼光、数学思维，便是一名不合格的数学学习者.教师应该不断更新教育理念，优化教学模式,提高课堂效率,带领学生遨游数学的海洋,寻求数学的本真.