高中教师资格考试中概率统计问题分析与思考

程晓亮 付泽

摘 要：本文根据全国教师资格考试笔试大纲，以国家教师资格考试高中数学学科知识与教学能力科目试题中概率统计问题为研究对象，通过统计分析所考查题型的分值、数量以及知识点对题目进行解题分类，在此基础上对国家教师资格考试命题方向进行研究和分析，以供参考.

关键词：高中数学教师资格考试;概率统计;分析与思考

中图分类号：O21  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2020）08-0004-05

1 引言

目前，全国除内蒙古、新疆、西藏等少数地区师范生以外，其余地区对所有教师资格申请者实施统一的考试，全面考查综合素质、教育知识与能力和学科知识与教学能力[1-2].普通高中数学教师资格考试笔试需要考以上三个科目，三科均合格才可以参加面试.根据全国教师资格考试《数学学科知识与教学能力（高级中学）》笔试大纲可知，该科目的考查包括学科知識、课程知识、教学知识以及教学技能四个部分.其中学科知识主要考查大学阶段所学习的数学分析、高等代数、解析几何以及概率统计等课程的内容.本文主要通过对2014-2019年共12套高级中学数学学科知识与教学能力试题中的概率统计部分考题进行统计和分析.

2 概率统计题目的统计与分析

2.1 试卷整体情况的分析

教师资格考试中数学学科知识与教学能力科目的题型与题目数量基本稳定，主要分为数学学科知识、数学教育理论、数学教学实践3大模块[3].试卷总分150分，试题总数为17道，分布在六种题型中.其中，第1至8题为单项选择题，每题5分，共40分;第9至13题为简答题，每题7分，共35分;第14题为解答题，10分;第15题为论述题，15分;第16题为案例分析题，20分;第17题为教学设计题，30分.数学学科知识分布在选择题第1至6题，简答题9至11题以及第14题解答题，题目总分数占比约为41%;数学教育理论分布在选择题中的第7至8题，简答题中的12至13题以及第15题论述题，题目总分数占比约为26%;数学教育实践分布在第16题案例分析题和第17题教学设计题，题目总分数占比约为33%.

2.2 概率统计试题题型、总分值的统计与分析

在12套试题中，概率统计考查的题型与总分值的统计见下图1.由图1可知，概率统计以选择题的形式共考查25分、以简答题的形式共考查77分、以解答题的形式共考查10分，从中可以看出以简答题的形式考查的分值最高，占总分值的69%.概率统计考查的知识点包括：随机事件与概率、独立事件、总体与样本、随机变量以及统计.选择题方面：随机事件与概率和随机变量均考查10分、总体与样本共考查5分;简答题方面：随机事件与概率共考查35分、随机变量共考查21分、独立事件共考查14分、统计共考查7分;解答题方面：随机变量共考查10分.从整体来看，随机事件与概率考查的分值最高，共45分;其次是对随机变量的考查，共41分.

2.3 概率统计试题题型考查数量的分析

对12套试题中各题型考查数量的统计见图2.其中以选择题的形式考查呈现出一定的波动，在2014上半年-2016上半年仅考查1道题、在2016下半年-2018上半年连续考查4道题，共考查5道题，考查考生对基本定义的理解以及基本的概率计算;以简答题的形式考查几乎趋于一种平稳的状态，除了2018年没有考查，2019上半年考查2道题以外，其余年份每年都会考查1道题，主要是对考生的逻辑推理能力、独立思考能力以及运算求解能力的考查;解答题仅在2018下半年考查1道题，主要是对考生的理解能力和综合运用能力进行考查.

2.4 概率统计考查知识点的分析

通过上述统计分析可知知识点随机事件与概率和随机变量所考查的分值最高.其中对于随机事件与概率，主要考查了以下几个问题：几何概型、排列组合、对条件概率定义的理解以及概率计算.几何概型满足概率的公理化定义，其关键在于对样本空间和所求事件用图形描述清楚（一般用平面或空间图形），然后计算出相关图形的度量（一般为面积或体积）;排列组合是计算“从n个元素中任取r个元素”，其关键在于是否讲究所取元素的次序，有次序则用排列公式，无次序则用组合公式;对条件概率定义的理解，重点要掌握的是一定是在某事件B发生的条件下，求另一事件A的概率;对于概率计算来说在解题过程中需明确的是该题目是古典概型还是几何概型，是分步的还是分类的，以此找到正确的方法进行解题.

对于随机变量，主要考查了以下几个问题：离散型随机变量的期望和方差、二项分布和正态分布.掌握离散型随机变量的期望和方差意义，准确的应用公式，利用其性质进行解题;二项分布是独立重复试验的一个概率模型，在进行解题的过程中，除了要注意事件发生的独立性外，还要注意随机变量是否为这n次独立重复实验中某事件发生的次数;正态分布考查的是随机变量服从正态分布的性质，如果X～N（u，？滓2），那么aX+b～N（a？滋+b，（a？滓）2）.通过分析12套试题可以了解到在教师资格考试中，考查对基本定义、定理的理解以及基本的概率计算较多，所以在今后的学习过程中应该加强对教材中定义、定理的理解和推导，学会利用性质进行解题，熟练地进行计算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题.

3 概率统计试题的解题分类

本文以茆诗松，程依明，濮晓龙编著的教材《概率论与数理统计教程》（第二版）为例.通过对12套试题的统计分析和对概率统计的学习发现试卷中所考查的题目可以分为以下3种：对公式与法则的考查、对定义和性质的考查以及对实际应用的考查，见下图3.

3.1 对公式与法则的考查

在考查的17道试题中，对公式与法则的考查共11道试题，其中有8道试题是考查概率计算，余下3道试题分别是对离散型随机变量的方差、正态分布和二项分布的考查，主要是考查考生对重要的公式法则等知识的掌握情况.其中有一部分试题是来源于教材中的例题与习题的演变.

例2 （2014下·第10题）袋子中有70个红球，30个黑球，从袋子中连续摸球两次，每次摸一个球，且第一次摸出的球，不放回袋中：（1）求两次摸球均为红球的概率（这里仅以第（1）问为例）.

评析 本题考查的是组合，来源于教材课后习题1.2第8题的演变.原题考查的是：口袋中有7个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.利用组合公式进行解题时需要注意的是取出的元素不考虑其先后的次序.

例3 （2019下·第11题）一个袋子里有8个黑球，8个白球，随机不放回连续取球5次，每次取出1个球，求最多取到3个白球的概率.

评析 本题考查的是组合，来源于教材课后习题1.3第6题的演变.原题考查的是：某工厂一个班组共有男工9人，女工5人，现要选出3个代表，问选出的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？本题考查到了对立事件，即当题目中出现至多、至少等字樣的时候我们可以考虑从事件发生的对立面进行求解.

通过上述例题可以看出，掌握教材中的例题与习题，不仅能使备考复习具有针对性，同时也能够提高备考复习的有效性.

除了上述3道例题，其余的试题均是自命题.

例4 （2017下·第10题）据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有60%是本专业考生，有40%是非本专业考生，其中本专业考生的通过率是85%，非本专业的考生通过率是50%.某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率.

例5 （2018上·第5题）边长为4的正方体木块，各面均涂成红色，将其锯成64个边长为1的小正方体，并将它们搅匀混在一起，随机取出一个小正方体，恰有两面为红色的概率是多少？

评析 这3道试题考查的均是概率计算，其关键在于所考虑的事件是需要分步完成还是分类完成，若所考虑的事件需要经过k步完成，则用乘法原理;若所考虑的事件需要经过k类不同途径之一去完成，则用加法原理.求事件发生的概率还包括排列、重复排列、组合等.

例7 （2015下·第11题）某飞行表演大队由甲、乙两队组成.甲队中恰好有喷红色与绿色喷雾的飞机各3架.乙队中仅有3架喷红色烟雾的飞机.在一次飞行表演中，需要从甲队中任意选出3架飞机与乙队飞机混合编队进行表演，并任意确定一架飞机作为领飞飞机，求领飞飞机是喷绿色烟雾的概率.

评析 本题考查的是排列组合，这是概率统计的重点内容，即计算“从n个元素中任取r个元素”的取法，其解题关键在于区别取出元素之间是否有顺序，若所求事件考虑取出元素之间的次序，则用排列公式;若所求事件不考虑取出元素之间的次序，则用组合公式.

例9 （2016下·第11题）王强是一位快递员，他负责由A地到B地的送货任务，送货方式为开汽车或骑电动车.他分别记录了开汽车和骑电动车各100次所用的送货时间，经过数据分析得到如下结果：

开汽车：平均用时24分钟，方差为36;

骑电动车：平均用时34分钟，方差为4.

（1）根据上述数据，你会建议王强选择哪种送货方式？请说明理由;

（2）分别用X，Y表示开汽车和骑电动车所用的时间，给出X和Y的分布密度曲线（假设这些曲线具有轴对称性）.为达到准时送达的目的，如果某次送货有38分钟可用，应该选择哪种送货方式？如果某次送货有34分钟可用，应该选择哪种送货方式？请说明理由.

例10 （2017上·第11题）有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的6个杯子中，每种品牌各3杯，作为试验样品.

（1）从6杯样品饮料中随机选取3杯作为一次实验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功.独立进行5次试验，求3次成功的概率;

（2）某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌.现请他品尝试验样品中的6杯饮料进行品牌区分，作为一次试验，若区分完全正确，视为试验成功.他经过5次试验，有3次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能力？说明理由.

例11 （2017下·第6题）已知随机变量X服从正态分布N（u，？滓2），设随机变量Y=2X-3，则Y服从的分布是什么？

上述4道例题均是对公式与法则的考查，考查考生的运算能力.其关键在于理解各基本量所表达的含义，认真参考教材，了解其推理和证明的过程，熟练地运用公式.

3.2 对定义和性质的考查

在考查的17道试题中，对定义和性质的考查共5道试题，分别对条件概率的定义、事件的相互独立性、均匀分布的性质、样本的随机性以及中位数和极差的性质的考查.通过试题考查考生对基本概念的理解和掌握的情况.

例12 （2017上·第5题）设A和B为任意两个事件，且A？奂B，P（B）>0，则下列选项中正确的是（  ）.

A.P（B）

C.P（B）>P（A|B） D.P（B）≥P（A|B）

例13 （2016上·第11题）在体育活动中，甲乙两人掷一枚六面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的骰子.如果结果为奇数，则甲跑一圈;若结果为1或2，则乙跑一圈，请回答甲跑一圈和乙跑一圈这两个事件是否独立，并说明理由.

评析 本题考查的是事件的相互独立性.解题关键在于理解并掌握独立事件的含义，通过概率之间的关系判断该事件是否为独立事件.

例14 （2018下·第14题）设随机变量？灼服从[0，1]上的均匀分布，即P|？灼∈（-∞，x）|= 0，x<0x，0≤x≤1 1，x>1，求P{？灼2∈（-∞，x）}.

评析 本题考查的是均匀分布.掌握均匀分布的分布函数是解题的关键.

例15 （2015下·第3题）为研究7至10岁少年儿童的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市的100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为？琢、？茁（单位：cm），则？琢、？茁的大小关系为（  ）.

A.？琢>？茁 B.？琢<？茁 C.？琢=？茁 D.不能确定

评析 本题是对样本具有随机性的性质考查，即总体中的每一个个体都有同等机会被选入样本，因此样本中的数据是随机的.

例16 （2019上·第9题）一次实践活动，某班甲、乙两个小组各20名同学在综合实践基地脱玉米粒，一天内每人完成脱粒数量（千克）的数据如下：

甲组：57，59，63，63，64，71，71，71，72，75，75，78，79， 82，83，83，85，86，86，89

乙组：50，53，57，62，62，63，65，65，67，68，69，73，76， 77，78，85，85，88，94，96

问题：（1）分别计算甲、乙两组同学脱粒产量（千克）的中位数;（2）比照甲、乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义.

评析 本题考查的是中位数和极差的性质.中位数表示数据出现的平均位置，是一组数据或样本的一般特征，极差则表示数据的波动范围和稳定程度.

通过对定义和性质的考查，考查考生的逻辑推理能力，同时也说明在进行概率统计学习的过程中，只是单纯的学会背公式不再可行，需要掌握相关知识点的定义和性质，明确解题方向，形成解题策略.

3.3 对实际应用的考查

在考查的17道试题中，实际应用以简答题的形式共考查1道题，是对统计步骤的考查，考查考生如何利用所学知识去解决实际问题的综合运用能力.

例17 （2019上·第12题）用统计方法解决实际问题的过程主要包括哪些步骤？

评析 该题目考查的是考生如何应用统计去分析和解决实际问题的能力.

通过对实际应用的考查可以看出教师资格考试要求考生对概率统计中的相关知识点有一个整体的把握，综合的运用所学的知识、思想和方法解决问题.同时从此试题中也可以看出将概率统计与实际应用相联系可能是今后的一个命题趋势.

4 基于概率统计试题分析的思考

概率统计是数学教育专业开设的一门专业骨干课程.通过对12套试题中概率统计问题的统计与分析可以看出，在今后的教师资格考试命题方面可以进一步的完善.

4.1 加强知识点考查的广度

12套试题所考查的基础知识点较多，在考查知识点上也有所偏重，考查较多的知识点包括：排列组合、概率计算、事件的相互独立性、二项分布，且题目载体较为相似，缺乏对知识点广度和贯通度的考查，部分命题逐渐模式化.因此在今后教师资格考试的命题中，应适当的调整一些知识点所占的比例，在一定程度上增加试题的新意，规避相似，以此来选拔更加专业化的高素质人才，为将来从事基础教育教学工作打下坚实基础.

4.2 加强知识点考查的深度

概率统计是一门通过演绎和归纳的方法研究随机现象及其规律性的一门学科.通过统计发现12套试题中，对概率计算的考查是重点，但是大多数题目过于基础化、简单化，缺乏对知识点深度的考查.无论是从研究的角度还是选拔教师的角度来看，都应该增加考查难度，严格教师准入，提升教师的专业性和权威性.在侧重考查知识点的同时，也要注重对考生分析和解决问题能力的考查，以此选拔出具有专业素养的教师，加强教师队伍的建设.

4.3 加强高等数学与中学数学之间的联系

在教师资格考试的概率统计模块，既考查了概率统计的高等数学基础知识，同时也对中学数学知识有所考查，立足于要求考生以高起点面对中学数学，从侧面反映了国家对教师专业化的学科知识方面的要求.但是，纵观2014-2019年的试题，对高等数学基础知识和中学数学的考查相对独立，很少将概率统计的高等数学基础知识与中学数学知识相联系，不利于考生在今后的教学工作中运用高等数学的思想来指导中学数学的教学.因此，在今后教师资格考试命题中要加强二者之间的联系，逐步增加对高中数学核心内容知识的考查，以便于师范生掌握中学数学的核心知识体系，快速适应中学教学，只有不断地改进和完善教师资格考试，才能不断地向教师专业化的方向发展.

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