2020年广东省高考数学试题和答卷分析

华南师范大学数学科学学院(510631) 王先义 刘秀湘

2020年高考数学全国Ⅰ卷以立德树人为根本任务,全面贯彻德智体美劳全面发展的教育方针,坚持以素养为导向,能力为重的命题原则,融合数学应用、数学探究和数学文化,在考查数学基础知识时,注重对数学思想方法、数学关键能力及数学核心素养的考查,体现了高考数学科学选拔和育人导向的作用.尽管因疫情原因使备考受到影响,但大部分考生能够正常发挥,基础知识掌握较好.本文就2020年高考数学试卷试题分析、考生主观题答卷典型错误和教学备考及建议三个方面进行分析,希望有助于中学数学教学及高考备考.

一、试题分析

2020年高考数学全国Ⅰ卷命题严格依据课程标准和考试大纲进行命题,体现了数学学科的基础性、综合性、创新性和综合性.在考查基础知识的同时,注重对数学素养和数学思想方法的考查,展现数学的科学价值和人文价值.

1.突出理性思维,考查关键能力

理性思维在数学素养中起着最本质、最核心的作用.数学科高考突出理性思维,将数学关键能力与“理性思维、数学应用、数学探究、数学文化”蕴含的学科素养统一在理性思维的主线上,在数学应用、数学探究等方面突出体现了理性思维和关键能力的考查.如理科12 题以基本初等函数中的指数和对数函数及其运算法则为知识背景,条件简洁大方,要求考生能够深入思考条件的结构特征,从而构造函数模型,综合考查学生的观察、运算、推理判断与灵活运用知识的综合能力.文科16 题主要考查数列的递推公式、数列的部分和以及数学分类讨论思想,在数学运算中渗透了等差数列求和公式的应用；试题在递推结构上进行创新,使考生不能直接套用公式进行求解,需要考生通过观察和思考,分析奇偶项的符号特征.理科16 题给出常见的三棱锥的平面展开图,要求考生能够同时结合三棱锥的平面展开图和立体模型进行思考,并运用解三角形的知识进行求解,综合考查学生的观察、空间想象和运算能力.理科19 题以实际生活的比赛为背景,题干条件通俗易懂,设问简约明了,但问题复杂多样,要求学生面对实际问题进行深入分析,逐一分类讨论,综合考查学生数学逻辑推理能力和应用意识.这些试题在考查学生基础知识的同时,打破以往的高考解题的套路,对试题的条件和结构进行大胆创新,旨在于引导考生在解决问题时应先根据问题情境观察、比较、分析、综合、抽象与概括,从而寻得解决之道,突出理性思维,考查学生的关键能力.

2.坚持探索创新,科学调控难度

2020年的全国Ⅰ试卷在基础内容上全面考查,主干内容考查保持稳定,在试卷难度设计上进行了探索创新,科学调控试卷难度,体现了“低起点”、“多层次”和“高落差”三个特点.

首先,选择题、填空题的起点低、入口宽.选择、填空题主要考查基础知识的掌握情况,没有多个知识点的交汇或设置陷阱,考生仅需要运用相关知识进行简单的计算或观察即可得出答案.即使作为选择题的压轴题,文科12 题也是一道“纯”立体几何问题,分析题意后即可转化为“已知正三棱锥的底面边长和高,求侧棱长”的问题,思维转化比较顺畅,并不要求多个模块知识的综合交汇.理科16 题是填空题的压轴题,将三棱锥与其展开图相结合来设置问题,立意很新颖,内容却常规,对于全体考生都比较熟悉.

其次,试题设计重视思维的层次性.文科18 题以解三角形问题为载体,深入考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等知识,对考生数学运算能力的要求较高；第(1)问设置求三角形的面积的问题,问题通俗简单,考生既能利用余弦定理求出三角形面积,也能用正弦定理结合三角恒等变换求出三角形面积,不同层次的考生都能尝试作答.理科18 题借助圆锥与多面体相结合的图形考查线面垂直和二面角余弦值的问题,不同层次的考生都能作答,但证明过程的严谨性和思路的简洁性区分了不同层次的考生.由于图形结构的新颖,部分考生建系时原点与坐标轴的选择不当,导致关键点、向量的坐标计算复杂；另外,部分学生对这类问题缺乏整体的解决方案,不知道求解第(2)问时可以直接利用之前的结论.如果注意到圆锥和三棱锥的高度对称性,考生建系时能使图形中的关键点落在坐标平面内,那么解答过程不仅思路简单,而且可以降低运算的难度,节约时间成本.总体来说,空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力较高的考生在此题解答中得到较好的展现.

再次,试题在思维的灵活性、深刻性,方法的综合性、探究性和创造性等方面体现区分度,不同的解题策略和计算的准确度会产生解题时间成本上的巨大的“落差”.考生作答时应“三思后行”,结合题干信息,对各种解决策略进行前瞻性的预判,选择解题问题的最佳策略,从而赢得时间.文科18 题第(2)问考生既可以利用三角形的内角和消元得到关于角C(或A) 的三角方程,利用三角恒等变换公式直接求出角C(或A),也可以结合平方关系、商数关系等转化为角C的正切方程等,实际上,此题借助题中∠B的三角函数值巧妙转化,则可以利用正弦定理转化为极大地简化运算.文科18 题第(2) 问求三棱锥的体积时,将体积表达式进行化归转化,即VP-ABV=VB-ACP,避免计算PO,提高运算效率.理科19题第(2)问注意圆锥和三棱锥的高度的对称性,选取O为坐标原点,建立合适的空间直角坐标系,使得P,E在坐标轴上,BC平行于轴,这样可以快速写出各个点的坐标,计算出法向量,同时结合第(1)问的结论,降低计算量.文科21 题(理科20 题)第(2)问属于高中数学圆锥曲线中的定点问题,考查高中数学的基本知识、基本技能、基本思想方法.另外,该题考查的问题经典,思路简单,但是运算量大,运算的准确度要求高,主元选择和消参的技巧性强,是一道“入门容易成佛难”的试题.理科21 题是以含参函数的性质研究为载体,设计了一道可以多角度思考的问题,学生可以根据自己的水平和能力找到不同的解决方法和途径,大部分学生都选择做差或者分离参数的方法转化为求函数的最值,不同方法使求导和函数性态分析难度相差较大,对考生的逻辑推理和运算能力要求较高.

3.坚持立德树人,倡导五育并举

2020年高考数学试卷结合学科特点和学科知识,基于“五育并举”的教育方针高度进行整体设计,响应德、智、体、美、劳全面发展的教育方针.文、理科试卷的第3 题以世界奇迹“古埃及胡夫金字塔”为例,抽象出正四棱锥模型,将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机融合,该题在考查学生立体几何图形时,也引导学生欣赏自然之美,将美育教育融入数学教育.文、理科第5 题以课外学习小组的实验研究为背景,考查学生对统计知识和函数模型的应用,展示了其它学科与数学学科的交叉与联系,体现了数学应用的基础性和广泛性.理科19 题以3 人羽毛球比赛为背景,通过约定赛制及可能存在的比赛结果设置问题,将概率问题融入常见的羽毛球比赛中,考查考生古典概率模型、事件的关系和运算、事件独立性等知识,考查考生的逻辑思维能力,引导学生会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维分析世界,会用数学的语言表达世界.文科第17 题以社会生产劳动实践为情境,以工业生产中的总厂分配分配加工业务为主题,以两分厂的A 级品概率和厂家的决策问题设问,考查考生应用所学的概率统计知识分析和处理现实社会中实际数据的能力,试题来源于劳动,体现了数学与生活的密切关联,培养学生的劳动态度和劳动精神.这些试题情境来源于社会生活的不同领域,美育教育有助于培养学生良好的审美素养,促进学生形成积极的人生态度,发展学生的创造力；体育教育能帮助学生形成健康意识,注重增强体质,健全自身人格,锻炼精神意志；劳动教育有助于培养学生的劳动态度和劳动精神,对塑造正确的世界观、人生观和价值观具有重要的意义.

二、考生填空、解答题答卷典型错误及分析

(一)文科卷

题号考生的典型错误原因分析答案为8.误将最优解(1,0)当作(1,1)代入.13答案为7.误将最优解(1,0)当作(0,1)代入.题答案为14.可行域判断错误,认为最优解在(0,2)处取得.其他错误答案.可行域判断错误或如错解直线交点.答案为1.审题不清,误将“垂直”当作“平行”处理,即a//b,则m=1.14答案为-1 或2.取b 向量的横坐标或纵坐标为0,即m+1=0 或2m-4=0.题答案为-3.计算出错,即a·b(m+1)-(2m-4)==-m-3=0,则m=-3.其他错误答案.(1)向量数量积的坐标计算公式错误；(2)求解m 出错.答案为y-2x,2x,2x-y.方程表示不完整,有缺失项.答案为y=2k.做题粗心,错误使用自变量变量符号使用k 指代x.答案为f(x)=2x.方程与函数概念混淆.答案为y=2x=0.对直线方程的概念理解不清.答案为y=2x(x＞0).对变量取值范围理解有误,将曲线中的x 取值范围直接套用到其切线y=2x上.答案为(1,2).审题不清,误以为题目为求切点坐标.15题答为y-y0=2(x-1),y-y0=2(x-x0),y=2x+b.不会计算或者完整计算切点坐标.答案为y=2x+1 或y=2x-5.切点求解错误,误认为ln 1=1,所以x0=1,y0=ln x0+x0+1=3,即由直线方程为y=2x+1 或者在代入点斜式时将切点的横纵坐标代反,即y=2x-5.答案为y=2x-2.直线方程点斜式记忆错误,将x0=1 后直接代入错误的点斜式方程y=k(x-x0)得y=2x-2.其他斜率为2 的错误直线方程.(1)求导出错；(2)计算切点出错；(3)直线方程化简出错等.16答案为1,2,3,4,2020.盲猜答案.题其他错误答案.在分奇、偶项计算时错误.第一问：概念理解错误用频率估计概率出错,如P甲=100× 1 P乙=100× 1 4=5 28=25 2,对题干中信息和表格中的数据意义理解出错,不知道如何用频率来估计概率.7.第一问：计算错误40分数化简约分出错.100=1 25, 28 100=1 25, 28 100=9 10.17题第二问：审题不清x甲=90×40+50×20+20×20

-50×20-100×25=1500.x乙=90×28+50×17+20×34-50×21-100×20=1000.审题不清,没有求平均利润,以总利润大小为标准判断,但与题目的设问不符.第二问：平均数计算错误(1)x甲=40×90+50×20+20×20-20×50 100=40；(2)x乙=28×90+17×50+34×20-21×50 100=30；(3)x甲=40×90+50×20+20×20 80 - 50×20 20-25×100 100=-125；(4)(1)计算利润时没有减掉成本；(2)直接用平均加工费判断；(3)平均利润概念不清,计算平均利润时,总频数用错.x乙=28×90+17×50+34×20 29 - 50×21 21-20×100 100=-23.第二问：计算错误(1)1500 100=100;(2) 1 100=150, 1000 100×(90-25)×40+(50-25)×20+(20-25)×20-(50+25)×20=15.四则混合运算计算出错,漏括号等.第一问：公式出错(1)b2=a2+c2-ac·cos B；(2)b=a2+c2-2ac·cos B；(3)b=a+c-2ac·cos B；(4)sin B= a2+c2-b2余弦定理公式错误.2ac 等等.第一问：公式错误S=1三角形的面积公式记错.2ab sin A=1 2ab sin B=1 2ac cos B.第一问：特殊角的三角函数值错误(1)cos 150°=1 2;(2)cos 150°=-1√2;特殊值的三角函数值记错.(3)sin 150°=3√2 ;(4)sin 90°=2 2 等等.第一问：计算错误(1)28=(√√3c)2+c2-2√3c2·(-3 2 ),得c2=28.(2) 4c2-28√计算错误,多项式的四则运算错误或者无理数的平方计算错误.2√2,得c2=7 3c2=-3(3)(2√2.7)2=14.第一问：第(1)问已知条件是B=150°,应该用关于B 的余弦定理,学生误用关于A或C 的余弦定理导致解题受阻.解题思路错误.18题第二问：审题不清第(2)问误用第(1)问的条件.题干、题设条件关系不清楚.第二问：将条件sin A+√√2 抄错成sin A+√3 sin C=2√数据抄错,解题习惯不好.3 sin C=3 2.第二问：对sin A+√√√2 直接用正弦定理得到a+√3 sin C=2公式运用错误.3c=2 2.第二问：公式错误或者不熟悉(1)sin A+√3 sin C=2 sin(A+ π 6);(2) 1√2 sin C=sin(A+C);(3)sin[π-(B+C)]=sin(B-C);(4)化简到2 sin A+3√√2 sin C+1 3 2 2 cos C=2(1)辅助角公式(或正弦的和角公式)记错；(2)诱导公式记错；(3)不会逆用和角公式化简或者辅助角公式化简等.不知道怎么处理.第二问：合并同类项错误由1√2 sin C+√√2 cos C-3 2 3 sin C=2得√√(1) 1 2 3 2 ;(2) 1 2 cos C-2 sin C=2 cos C- 3√在进行代数式的计算时,合并同类项出错.3√2 2 ;(3) 1 2 sin C=2 cos C+3√3√2 2 ;(4) 1 2 sin C=2 cos C+2√3-√3√2 2 sin C=2.

第二问：角的范围与三角函数值由sin(C+ π√2 6= π思维不严谨,本题中0＜C＜π 6)=4 或C+ π 2,C+ π 6,考生没有考虑角的范围,导致答案出错.6=3π 4,解得C= π 12 或7π 12.第二问：思路错误由sin(A+C)=sin B=1■■■■■■■■■ ■■■■■■■■2 得方程组sin A cos C+cos A sin C=1 sin A+√√2,2 2,sin2 A+cos2 A=1,sin2 C+cos2 C=1.方程组无法求解.3 sin C=考生对三角恒等变换不熟练,陷入四元二次方程组的“死胡同”,而未能求解出sin C 的值.第一问：逻辑完全混乱,没有明确的思路,证明完全错误.相关知识完全没掌握.第一问：仅直接写出PA⊥PC,PA=PB,ΔPAC ∽=ΔPBC,OD⊥面ABC,OP⊥面ABC 等部分相关条件.对面面垂直的方法和判定定理不熟悉.第一问：逻辑不严谨没有PA=PB 等条件直接推导出ΔPAC ∽=ΔPBC.逻辑推理不严密,跳步严重.第一问：没证明PB⊥PC.直接写出结果,缺少ΔPAC ∽=ΔPBC,三棱锥P-ABC 为正三棱锥或者PC2+PB2=BC2 等依据.19题第一问：(1)未说明PC⊥AB；(2)未从PO⊥面ABC 推出PO⊥AB；(3)没从AB⊥面POC 推出AB⊥PC.线面垂直定义和线面垂直判定定理不熟,逻辑推理不严密.第一问：没有完整、充分的说明“一条线垂直面内两相交直线”条件就直接写出“线面垂直”的结论.线面垂直判定定理不熟,逻辑推理不严密.第二问：求圆锥底面半径所需两个方程不全或出错(1)没法准确得出方程rl=√3；(2)没法准确得出方程l2-r2=2.缺乏方程思想,对圆锥相关性质不熟悉.第二问：解方程求r 的计算出错或者无法求解.运算能力较差,高次方程不懂得换元降次或者十字相乘法不熟.第二问：锥体体积公式少乘“1 3”或三角形面积公式少乘“1锥体体积公式和三角形面积公式不熟悉.2”.第二问：高PO 算错.相关公式不熟或未找出计算方法.一问：求解不等式或方程错误(1)令f′(x)=0,得x=1；(2)令f′(x)＞0,得x＞e；(3)令f′(x)=ex-1＞0,得x＜0.极值点求错或不等式ex-1＞0,ex-1＜0 不会解或解错.第一问：x＜0,f(x)单调递减；x＞0,f(x)单调递增.单调区间没有写成区间形式,第一问：直接说f(x)在x ∈(0,+∞)单调递增；f(x)在x ∈(-∞,0)单调递减.单调性分析不完整.第一问：x＜0,f(x)＜0,f′(x)在(-∞,0)上单调递减；x＞0,f(x)＞0,f′(x)在(0,+∞)上单调递增；f(x)与f′(x)关系混淆.第一问：f′(x)=ex-1,f(x)在(0,+∞)单调递增,f(x)在(-∞,0)单调递减.未能用f′(x)与0 的关系分析单调性.第一问：设x1＜x2＜0,则f(x1)-f(x2)＞0.方法不当,试图单调性的定义法证明单调性.第二问：直接令最小值f(ln a)＜0,解得a＞1 e.没有讨论a 在其它范围所对应零点的个数,思维不严谨.20题第二问：f′(x)=ex-a,y=f(x)有两个零点,等价于y=ex 与y=a 有两交点.将f(x)零点与f′(x)零点混淆.

第二问：f(x)有两零点,则Δ＞0.将二次函数零点个数判断错误迁移.第二问：x＜ln a,f(x)递减；x＞ln a,f(x)递增,f(x)最小为f(ln a)＜0,则有两个零点.没有在x=ln a 左右两端找到令f(x0)＞0 的x0,缺乏用零点存在定理“卡点”的严谨性.第二问：(1)a ≤0 时f′(x)＞0,f(x)在ℝ 上递增(没有描述零点个数情况).(2)a ≤0 时,f(x)只有一个零点(零点个数情况描述错误).对于简单的特殊情况未能准确说清零点个数.第二问：局部分参法a＞0,不会计算过定点(-2,0)与y=ex 相切的切线斜率k.不会求过曲线外一点求已知曲线的切线方程.第二问：局部分参法求得切线斜率k=1 e,a＞1 e 时,有两个零点(其它范围没有分析零点个数).没有分类讨论斜率a 在不同范围内,零点个数的不同情况,缺乏对答案完备性的分析.第二问：完全分参法由f(x)=ex-a(x+2)=0 得a= ex没有考虑x≠-2,以致后续对g(x)= ex x+2 图像分析错误.x+2.第二问：完全分参法后函数求导错误g′(x)= ex(x+3)求导的四则运算法则不熟悉.(x+2)2.第二问：完全分参法x ∈(-∞,-2),x ∈(-2,-1),g(x)单调递增,x ∈(-1,+∞),g(x)单调递减.单调性判断错误.第一问：圆M 的圆心M(a,b)满足的方程组■■ ■(a+√2)2=r2(a-√2)2+(b-√2)2+(b+√2)2=r2 没有计算能力不足,不能对三元二次方程组进行消元求解.解出a=b 或者解出a 与b 是错误关系.第一问：A,B,G 的坐标出错或-→AG,--→GB 的坐标表示出错(1)写成A(-c,0),B(c,0)；(2)写成A(-x,0),B(x,0)或者A(x1,0),B(x2,0)；(3)写成A(-a,0),B(a,0),G(1,0)或-→AG=(1+a,0),--→GB=(a-1,0)等.(1)没看清题意,误将椭圆顶点看做焦点；(2)向量坐标表示等概念理解不清楚,向量加、减和点乘的坐标运算法则错误；(3)书写粗心导致计算错误.第一问：-→AG·--→GB=8 的转化或计算出错(1)|AG|=|GB|=a 或-→AG·--→GB=a2=8 或-→AG·--→GB=2a=8；(2)-→AG·--→GB=2c=8；(3)√a2+1·√a2+1=8；(4)得a2-1=8,所以a2=7 得|-→AG|·|--→GB|cos ∠AGB=8 或∠AGB=120°.(1)向量数量积的坐标运算法则不熟悉；(2)把AG,GB 的长度看成a,认为-→AG·--→GB=a2 或-→AG·--→GB=a+a；(3)向量的数量积的公式错误,认为-→AG·--→GB=■■■-→AG■■■■■■--→GB■■■,向量夹角概念不清楚,认为-→AG 与--→GB 的夹角是∠AGB,或认为-→AG 与--→GB 的夹角是60°.21题第一问：方程写成x2求出a=3,忘记平方.3+y2=1.第二问：联立■■ ■CD:x=my+n或y=kx+t,x2 9+y2=1,消元整理过程出错,或韦达定理出错.代数运算容易出错.第二问：直线PA,PB 的方程出错(1)设lPA:y=k(x+3),lPB:y=k(x-3);(2)设lPA:y=k1x+b1,lPB:y=k2x+b2;(3)设lPA:y= y0 3 (x-3),lPB:y= y0 9 (x+3);(4)设lPA:y=9 y0(x+3),lPB:y=3(1)对直线方程的表达方式不熟悉,习惯性书写导致出错.(2)两条直线斜率不一样,习惯性书写时不区分.(3)没有利用已知点,机械设方程,增加了方程的未知量的个数；(4)斜率计算出错,或对斜率公式掌握不牢.y0(x-3).第二问：C,D 点坐标出错.不会应用韦达定理求根,或运算出错.

第二问：定点求错或无法求出定点.字母运算、转化能力不足.第二问：没有讨论特殊情况：设CD:x=my+n 漏掉y=0 的情况；设CD:y=kx+t 漏掉斜率不存在的情况.做题不细心,解题思路不严谨.第一问：曲线方程正确但描述不完整只回答圆或半径为1 的圆或圆心在原点的圆或没有回答问题.不知道描述一条曲线不能仅仅说明形状,还应该包含这条曲线的关键要素.第一问：转化参数方程时得错误曲线y=x tan t或x2+y2=t2 或x2+y2=1 并回答曲线是“直线”或“椭圆、双曲线”等.(1)不知道如何消参或对参数的理解错误,转化过程并没有消去参数t；(2)认为cos t 是cos 乘t；(3)对于常见曲线方程的形式不能给出正确判断,即对直线、椭圆和双曲线的方程表达形式不熟悉.第二问：方程C1:■■ ■x=cos4 t y=sin4 t(t为参数)不会消参,只代入k=4 或者尝试用x-y=cos2 t-sin2 t 消参或者消参得x+y=1.对三角恒等式的运用不熟练,不能观察出√x=cos2t,√y=sin2t,然后根据三角恒等关系消元.第二问：联立■■ ■√x+√y=1,4x-16y+3=0,消元后无法求解方程.(1)看到根号就懵了,不懂得如何解方程组,对代入消元解方程组的方法思想没有掌握；(2)对于含根的方程不知道如何处理,不能根据式子结构利用一元二次方程的方法求解.第二问：x=1求得方程组的解为4或■■■ ■■y=1■■■■ ■■■√2 x=2√2 x=169或等.(1)十字相乘时符号错误；(2)平方变成开方；(3)y 忘记平方；(4)没有验算的意识.y=2■■■ ■■36 y=7 6 2 22题第二问：直接联立C1 与C2,化简得到方程4cos4t-16sin4t+3=0 后不能对方程继续处理.不知道可以把cos4 t 看成(cos2 t)2,并利用cos2 t+sin2 t=1 化成一个一元二次方程.第二问：■■■ ■■x=cos4 t=cos2 2t+1指数幂运算不过关或者二倍角公式使用错误,应化简为2 ,y=sin4 t=1-cos2 2t)2 x=cos4 t=(cos2 2t+1■■■■ ■■■2,2 .)2 y=sin4 t=(1-cos2 2t .2第二问：(1)直线的方程写成4x-6y+3=0 或者4x+16y+3=0 或者2x-16y+3=0；(2)√(1)粗心,符号或者系数抄错；(2)完全平方公式不熟练.x+√y=1 变形得到x2+y2+2√xy=1 或者x2+y2=1.(1)点的坐标计算错误或者将点(-1 3,-8 3)错误地点在了(-1 3)或(-1 3 );(2)将y=-x-3 画成了像单调递增的函数图像,对于一次函数的单调性理解有误；(3)将直线画成了各种曲线,对各种函数图像记忆混淆；(4)没有写出完整的解析式,导致分段函数的部分段图像没有画完整；(5)3,-5 3,-11第一问：图像错误(1)描点的位置不准确；(2)直线的位置不对；(3)直线化成曲线；(4)图像不完整；(5)平移图像画得不规范；(6)图像平移的方向错.images/BZ_7_1893_2899_2141_3141.png(6)将f(x)的图像向右平移得到

f(x+1)的图像,对于函数图像的平移方向的判断掌握不熟.-x-3,x＜-1 3;第一问：分段函数出错(1)分段函数定义域不全；(2)分段函数解析式错误.(1)■■■■■ ■■■■5x-1,-1 3＜x＜1;x+3,x＞1;忽略端点；(2)去绝对值时候的运算错误,导致解析式求错.第二问：分类讨论中错误(1)分类讨论分类不完整；(2)每一类讨论最后交集求错；(3)分类讨论中错用大括号,并集写成交集；(1)分类的临界点没有找完整；(2)在分类讨论时,对条件和结论的关系没有厘清；(3)粗心导致数字计算和大小比较错误.第二问：集合运算的问题(1)解集的形式错误；(2)并集符号的使用错误；(3)元素和集合的关系表达错误.(1)解集写成x＜7 23题6;(2)解集写成x ≤-4 3 ∪-4 3＜x＜7 6;(3)x ∈∅写成x=∅.第二问：计算出错(1)合并同类项错误；(2)解不等式错误；(3)绝对值计算错误.(1)多项式的运算能力偏弱；(2)-6x＞7 解成x＞-7 6;(3)取绝对值时,绝对值符号里面式子的正负判断失误.第二问：求交点用错分段函数解析式.函数图像和解析式的对应能力偏弱.第一问：解不等式错用了放缩.错误利用绝对值不等式放缩,从而能解出不正确的结果.例如：要解不等式|3x+1|+|3x+4|＞2|x-1|-2|x|,但因为2|x-1|-2|x|≤2,错误的将原式等价于解|3x+1|+|3x+4|＞2.

(二)理科卷

题号考生的典型错误原因分析13答案为14.计算错误.题答案为-11用代点法的时候代入错误的点.2 或-7.14答案为3.向量模的运算错误,求出向量的模的平方之后忘记开方.题答案为1 或√2 或2.看到单位向量且认为是等边三角形或者等腰直角三角形.答案为√3 或2 或3 或1计算错误.案为√√3.2 或2误认为是a=b.2.15题答案为√10.把直线AB 的斜率误认为是渐近线的斜率.答案为1 2.离心率公式记忆错误,误认为离心率是a/c.答案为-1余弦定理公式错误,公式右边系数记错.2 或1 2.√√16题√答案为2 2 或3 2 或-3 2.胡乱猜测角的大小,写出相应的三角函数值.答案为60° 或120° 或45° 等等.(1)审题不准；(2)胡乱猜测角的大小.答案为1运算错误.4.第一问：由a1 为a2,a3 的等差中项得2a1=a3-a2,a12=a2·a3,a2=a1+d 等.等差中项和等比中项概念不清导致混淆第一问：由q2+q-2=0 解得q=-1,q=2,q=-1±√5方程求解错误,对一元二次方程的系数看错或者求根公式错误.2 .第一问：由q2+q-2=0,解得q=1,q=-2.没有舍去q=1.审题不准,没看清题干条件.

17题第二问：当n 为奇(偶)数时,Sn=1×(-2)0+2×(-2)2+4×(-2)4···+(n-1)×(-2)n-1.概念不清,没理解前n 项和的概念.第二问：用错位相减法得3Sn=(-2)0+(-2)1+(-2)2+···+(-2)n-1+n·(-2)n.正负号出错.第二问：由q=-2,得an=-2n-1,所以Sn=1+2·-2+3·-22+···+n·-2n-1.表达有误,平时书写习惯不好.第二问：3Sn=(-2)0+(-2)1+(-2)2+···+(-2)n-1-n·(-2)n,得3Sn=1+(-2)·[1-(-2)n]1-(-2) -n·(-2)n或者对等比数列求和公式不熟,如弄错项数.3Sn=(-2)·[1-(-2)n]1-(-2) -n·(-2)n.第二问：由3Sn=1+(-2)[1-(-2)n-1]3 -n·(-2)n得Sn=1 9- (3n-1)(-2)n 9 或者Sn=1指数运算能力欠缺,合并同类项正负号出错.3+-2+2·(-2)n-1+n(-2)n 9 .第二问：由3Sn=1-(-2)n 3 -n·(-2)n 得Sn=1-(3n+1)·(-2)n.误将除以3 当成乘以3 进行运算.第二问：由 ①- ②得Sn=1 9-(3n+1)(-2)n 9跳步太多,导致失分.或者得出错误答案.第一问：表达不严谨,对于两问中边长数值的设定,没有“不妨设”或者“不失一般性假设”等关键字眼.不清楚上述表达的内涵,书写不严谨.第一问：各类数据计算错误率很高(1)设等边三角形边长AB=a 或AB=1 时,其它边长计算出错.(2)通过向量坐标计算法向量时出错.(1)带字母结构的运算能力较差；(2)含根号结构的化简处理能力欠缺.第一问：无任何合理证明即认定PA⊥PB 和PA⊥PC 关键证明步骤缺失.缺乏证明线线垂直的平几思路.第一问：直接利用线线垂直或者面面垂直直接得到线面垂直,如由PA⊥BC 直接得PA⊥面PBC.对线面垂直的判定定理不清楚.18题第一问：用法向量知识证明线面垂直时,利用-→PA·m=0 得-→PA//m.对线面垂直的向量判定原理不清晰.第二问：建系出错,没有保证三个方向互相垂直,如分别以-→CA,--→CB 为x,y 轴建系.空间想象能力弱导致寻找垂直关系困难第二问：书写点的坐标和所建立的坐标系不一致对坐标系中各坐标轴所对应的方向感较差.第二问：利用等体积法计算二面角的平面角余弦值时,不能清晰指出平面角的位置或者等量关系,求面积和体积时运算出错.空间想象能力欠缺,运算能力薄弱.第二问：利用两个法向量求夹角余弦值时运算出错.向量积的坐标运算法则或利用法向量求二面角的公式错误.第二问：缺乏最终结论,直接将两个法向量的夹角余弦值作为答案.对二面角的平面角和法向量的夹角之间的关系不清楚.19题第一问：无任何文字说明,直接写结果,如1数学语言书写表达习惯未养成.16,1 24 等.

第一问：题意理解有误,误认为甲获胜场次是二项分布,出现如C44(1对数学概念理解不透彻.2)4,C44(1 2)4(1- 1 2)0 等.第一问：运算错误,如(1指数幂运算不熟悉,粗心大意.1 4 2)4=1 32,(1 2)4=1 8,=1 2 16 等.第二问：对题目中赛制理解有误,出现六场比赛或者前四场比赛中出现负者连场的情况数学阅读理解能力不足.第二问：四场结束比赛的情况列出不全：仅列出甲连胜四场或甲、乙连胜四场,如：P(需进行五场比赛)=1-P(甲连胜四场)=1- 1思维不严密.16=15 16 或P(需进行五场比赛)=1-P(甲连胜四场)-P(乙连胜四场)=1- 1 16- 1 16=7 8 等.19题第二问：对四场结束比赛且最终丙获胜的情况考虑不周,出现P(需进行五场比赛)=1- 1思维不严密.16×3=13 16.第二问：无任何文字说明,直接写1- 1 16,1- 1 16- 1 16=7 8,1- 1 16=15 16- 1 16=13数学语言书写表达习惯未养成.16,1-4×(1 16- 1-(1 4,1-2×(1 2)4=3 2)4 2)3=3 4 等.第二问：没有利用对立事件求概率,而采用列举法直接求(五场结束比赛的情况共有24种),出现诸多重复和遗漏的情况.数学思想方法不熟练.第三问：列举丙获胜的情况时采取的分类标准不当,导致要么重复要么遗漏.分类讨论的数学思想不熟悉或者分类意识不强.第二问：题意理解有误,误认为丙获胜场次是二项分布,如丙全胜：C44(1 2)4=1 2)4+C44(1 8,丙输一场：C14(1- 1对数学概念理解不透.8,从而丙胜概率为1 2)(1 8=1 2=1 2)3 1 8+1 4.第三问：思维混乱,无从下手,大量无意义解答.思维品质欠佳.第一问：(1)A 与B 的坐标错位,即写成A(a,0),B(-a,0);(2)写错点G 的坐标,把椭圆上顶点G(0,1)写成G(1,0)；(3)错误求解--→GB 的坐标,错用点G 坐标减去点B 坐标求解--→GB 的坐标.求解向量的坐标出现错误,对椭圆方程的几何性质欠熟练及运算能力薄弱.第一问：用其它字母表示,例如：A(-c,0),B(c,0)或A(-x,0),B(x,0).不能识别x2 a2+y2=1 中a 的几何意义20题第一问：结果是猜测得到,理由不足,例如：■■ ■-→AG·--→GB=8 a2=b2+c2 得a=3.不懂得向量的定义或者坐标运算.第一问：计算出错；A(-a,0),B(a,0),G(0,b),-→AG·--→GB=(a,b)·(a,-b),方程移项符号出错.因为■■ ■a2-b2=8,b=1,所以a2=7.第一问：表达不规范,例如：

(1)有设点或者向量的坐标；(2)漏写向量符号,如AG·GB=(1+a,0)·(1-a,0)；(3)向量与坐标之间缺少“=”,如-→AG(1+a,0).(1)解题习惯不好,跳过重要步骤,交代不清；(2)没有深刻理解向量的定义及坐标与向量的关系.第一问：(1)定义法求解-→AG·--→BG=8 出错；(2) 向量的模长错误,如■■■-→AG■■■=a2+1；(3)定义表述错误,如-→AG--→GB=√a2+1·√a2+1=8；(4)向量的夹角理解错误,-→AG·--→GB=√a2+1·√a2+1·cos ∠AGB=8；(5)向量的理解错误,例如：①-→AG+--→BG=2a；②-→AG+--→BG=a·a=8；3○-→AG=-→AO+--→OG=a+1；④∵-→AG=--→BG,∴-→AG·--→BG=2-→AG.(1)向量内积的定义与向量内积相关的公式未能理解；(2)向量的模长定义不熟悉,向量的内积公式记忆出错,漏了两夹角夹角的余弦值；(3)两向量的夹角定义不清晰,此处-→AG与--→GB 的夹角应为π-∠AGB；(4)向量和线段的定义混淆,只关注向量的大小,忽略了向量的方向,造成了表述及内积的运算错误.第一问：表达不规范(1)表示向量的模长,漏写“||”,如：-→AG=2√2；(2)漏写括号,如：-→AG·--→BG=a2+1 cos θ=8；(3)使用其他字母前,未先交代,如：∠1,θ,∂解题习惯不好,不注意细节,表述不规范第二问：直线CD 与椭圆E 联立得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,所以y1+y2=2mn 运算错误或者韦达定理公式记忆不牢固m2+9 或y1y2=-n2-9 m2+9.20题第二问：化简得到(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.消参技巧不到位,仅利用点在直线上的关系消参,漏了点在椭圆上的关系也可做消参条件.第二问：两条直线的参数未分开标识,例如：(1)直线PA 的方程为y=k(x+3),直线PB 的方程为y=k(x-3).(2)直线PA 的方程为x=my-3,直线PB 的方程为x=my+3.没有意识到两条直线的斜率相同代表两直线平行的深层含义,对直线平行的条件不熟悉.第二问：两条直线的方程对应错误,例如：(1)直线PA 的方程为y=k1(x-3)；直线PB 的方程为y=k2(x+3).(2)直线PA 的方程为x=m1y+3；直线PB 的方程为x=m2y-3.未理解点斜式和斜截式对应参数的几何意义.第二问：设点P 的纵坐标未知数与直线方程中字母y 混淆；设点P(6,y),A(-3,0),B(3,0),直线PA 的方程为y= y滥用字母,不理解直线方程的含义.9(x+3)；直线PB 的方程为y= y 9(x-3).第二问：设两条直线的方程未能反映P、A、C 和P、B、D 分别三点共线；例如：直线PA的方程为y=k1x+b1；直线PB 的方程为y=k2x+b2.缺乏数形结合的思想,不能熟练运用直线的点斜式解决问题.第二问：(1)求错点C 与点D 的横坐标(或纵坐标)例如：xD=3(t2-1)9t2+1,yD=- 2t 3t2+1；(2)求出点C 和点D 的坐标后,无法把直线CD 方程整理为点斜式.(1)不能熟练运动韦达定理中两根之和(或两根之积)的关系,已知一根求另一根；(2)运算能力不足.第二问：

缺乏分类讨论的意识,例如：(1)设P(6,t)忽略分类讨论t=0 与t≠0；(2)设CD 直线方程：y=kx+m,忽略分类讨论CD 斜率存在与不存在等等.(1)分析数学问题的严谨性不足；(2)欠缺分类讨论的思想.第一问：求导错误(1)f′(x)=ex+2x;(2)f′(x)=ex-2x-1;(3)f′(x)=1(1)对数函数与指数函数的导数混淆；(2)以为x 的导数为0；(3)符号搞错.x+2x-1.第一问：f′(x)=ex+2x-1,f′(0)=0,x＞0,f′(x)＞0,则f(x)在(1,+∞)单增；x＜0,f′(x)＜0,则f(x)在(-∞,1)单减.结论错误,可能看错,抄错.第一问：(1)f′(x)=ex+2x-1=0 不会解；(2)f′′(x)=ex+2＞0,x＞ln(-2)或x＞e-2 或x＞-ln 2,或x＞ln 1(1)不会解超越方程；(2)对指数函数的性质以及指对数运算不熟悉,不等式解错.2.第一问：f′(x)=ex+2x-1,f′(x0)=0,x＞x0,f′(x)＞0,则f(x)在(x0,+∞)单增；x＜x0,f′(x)＜0,则f(x)在(-∞,x0)单减.(1)求不出导函数的零点或者零点求错；(2)以为是隐零点,用字母替代.第一问：x＞0,f(x)单增；x＜0,f(x)单减.表述不规范,单调区间结论没有写成区间形式.21题第一问：f′(x)=ex+2x-1=0,f′(0)=0.导函数的正负不会判断,不会利用函数的单调性去定号.第一问：二阶导函数与一阶导函数搞混淆f′′(x)=ex+2＞0,所以f(x)单增.多个函数同时出现,没有搞清楚他们的内在逻辑关系,用二阶导数的正负去判断原函数的单调性.第一问：f′(x)=ex+2x-1,f′(0)=0,所以(-∞,0)单减,(0,+∞)单增.没有分析导函数的正负,直接写出原函数的单调区间.第一问：区间写成(0,-∞),(0,+∞]等错误形式平时没有养成良好的表达习惯.第二问：原不等式不会恒等变形.不会处理含参函数的恒成立问题.第二问：以为f(x)＞g(x)⇒f′(x)＞g′(x).函数与导函数关系不清楚.第二问：做差变形或者分离参数时,函数求导错误.基本初等函数的导数运算公式不熟悉,如：(1)′x2=- 1 x3,没有系数2.第二问：分离参数,求导后不会因式分解或者不会进一步分析.较复杂的分解因式不过关12x3-x-2+(2-x)ex=(x-2)(1)2x2+x+1-ex .第二问：做差变形后,不会对函数的性质进行分析.不会求含参函数的最值,不会分类讨论.22 23题同文科

三、教学备考及建议

1.重视数学运算“算理”和“算法”,提升数学运算能力

数学运算是解决数学问题的基本手段,也是数学学习的“童子功”.数学概念理解之后,数学运算就是解决问题的关键因素.没有运算能力的支撑,再优美的解题策略或解题思想也只能是纸上谈兵.本文所说的数学运算是指根据数学的法则进行计算的过程,主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序和求得运算结果等.我们可以根据运算对象将高中的运算问题归结为三大类：代数式恒等变形；解方程；解不等式.考生常见的问题包括：带根号结构的数字运算；带有字母和根号结构的多项式化简；带有字母和根号结构的因式分解；分式特别是繁分式的四则运算；十字相乘法解一元二次方程时根的符号；与实际问题结合时解方程的增根；解不等式两边同时乘以一个字母时不等号变向问题等.

运算能力既然是童子功,那就不仅需要小学、初中阶段打好基础,也需要在高中阶段时时温习.学生面对复杂的数学运算时,一般是先构思运算程序,明确计算原理,即明确“算理”,包括运算的意义、性质和规律等；然后根据“算理”实践操作,即运算的“算法”过程,包括计算的程序和方法等.高中数学教学任务的繁重,受课时限制,课堂教学时老师往往没有时间给学生当堂完整运算求解,因此不能发现学生的运算错误并加以指导,学生也知道自己容易运算出错,但是不知道如何改进.长此以往,学生的运算能力自然下降了.

在教学中如何培养学生的运算能力?首先,教师可以引导学生对与数学运算有关的算法和算理内容的温习,促使学生对相关知识内容算法和算理的理解与掌握,纠正学生以往运算知识或方法错误；其次,在示范教学过程中,教师要重视具体运算过程的示范、引领、指导和要求,规范演算书写过程；再次,在运算过程中,教师时常引导学生学会错因剖析和检查检验,培养良好的运算习惯,反思总结计算经验,优化计算方法,使数学运算学习从技能习得走向思维发展；最后,根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《新课标》)中数学运算素养水平划分,教师可以通过运算操练、情境转化训练和思维训练三步对学生的运算进行分“层”达“标”训练,促使学生运算素养逐步达到各个水平层次.[1]

2.加强新高考命题研究,精准科学备考

2021年广东省将加入新高考改革,数学试卷使用全国新高考卷.新高考数学试卷命题以新课程标准为依据,也不再制定考试大纲及考试说明.特别地,新高考不分文、理科试卷,这对习惯了文、理分科进行教学和备考的一线教师而言是一个新的挑战.因此,我们需要深入研究新高考数学试卷的特点与命题动向.

2020年新高考全国Ⅰ卷在考试内容改革、题型创新、试卷结构以及科学调控难度方面进行了积极的探索.在内容改革上,试卷关注新高考文理不分科的特点,关注高校对人才的选拔要求和数学人才培养中的作用,突出对理性思维和关键能力的考查,通过设计真实问题情境,融合数学文化,渗透德智体美劳的育人理念,全面贯彻‘立德树人’的教育方针.在题型创新方面,引入多选题和结构不良试题等新题型,为数学基础和数学能力不同层次的考生都提供了发挥的空间.在试卷结构方面,试卷有单项选择题,多项选择题、填空题和解答题,取消选考内容.在科学调控难度方面,全面贯彻‘低起点,多层次,高落差’的科学调控策略,如选择题、填空题、解答题部分试题进行了系统设计,使得试题起点低,入口宽,面向全体学生,考查学生基础知识；试题往往具有多种解法,给不同层次的考生提供了多种分析问题和解决问题的途径；个别试题对考生的思维能力有较高的要求,要求学生具备解决复杂问题的综合素养和能力.这些特点和趋势无疑是给我们科学备考提供有价值的信息.

3.夯实数学阅读能力,助力提升数学建模

数学知识的学习和问题的解决都起源于数学阅读.任子朝[2]等人认为数学阅读是人从文字、数据等材料中获取信息的心理活动过程,不仅包括数学文字语言、符号语言、图标语言的理解、记忆、认知等过程,还包括对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等一系列思维过程,是区别于一般阅读的复杂的智力活动.孙俊勇[3]认为一种指向内在数学学习的心理活动过程,将数学阅读总结为提取信息、数学建模、数学表达三个阶段.从两种界定和论述中可以看出,数学阅读是一个复杂多样的学习活动过程,数学阅读过程需要多种能力.包括获取并整理数学信息的能力、发现并提出问题的能力、数学建模的能力、空间想象的能力、数学抽象推理的能力、数学运算的能力以及表达交流的能力等.

数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程[4].它是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动.在《新课标》中,不管是必修课程,还是选择性必修课程,数学建模活动与数学探究作为一条主线贯穿始终,是高中数学学习必不可少的环节.

在新高考数学科的考试目标中,数学建模能力是一项重要的关键能力.今年的新高考试卷加强了数学建模能力的考查,第4,6,12 和19 题的题干提供了一些新颖的信息,如非连续文本、图像、表格、统计数据、实景照片、接近真实的实验场景等.需要考生在阅读这些背景素材的基础上,提取有用信息,建立数学模型并解决问题.

需要指出的是,数学阅读对培养数学建模能力具有重要的意义.因为只有阅读问题的背景材料,提取关键的信息后,我们才能思考如何建立数学模型.近年理科概率与统计大题因为背景材料的表述而呈现较多的文字,广东省考生的得分很不理想.2020年的理科概率与统计大题一改前几年风格,题干简洁,尽管数学思维要更深刻,但是考生得分比前几年都好.这说明背景材料的阅读恰恰就是很多考生的短板.

在今后的数学教学中,应进一步加强数学阅读能力、建模创新能力的培养,特别是要提高包括文科生在内的全体考生的能力,这是课程和高考改革中中学数学教学的当务之急.