2020年高考全国Ⅰ卷概率与统计试题分析及备考建议

华南师范大学数学科学学院(510631) 赵 萍

一、2020年高考全国Ⅰ卷概率与统计试题分布一览表

科 别题型及题号分值背景考查内容难 度文 科选择题4 5正方形古典概型易全国Ⅰ卷选择题5 5发芽率与温度关系散点图,回归模型易解答题17 12复工复产,产品加工用样本估计总体中选择题5 5发芽率与温度关系散点图,回归模型易理 科解答题19 12羽毛球比赛古典概型、对立事件、相互独立事件、事件______________________________________________________________________________________________________________________之间的相互关系难

二、2020年高考全国Ⅰ卷概率与统计试题特点分析

特点1：基础性

题目1(全国Ⅰ卷(文科)第4 题)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任选3 点,则取到三点共线的概率为

解析5点中选择3 点的不同组合共有10 种：ABC、ABD、ABO、ACD、ACO、ADO、BCD、BCO、BDO、OCD,其中3 点共线的有2 种：ACO、BDO,故三点共线的概率为故选择A.

本题背景为几何基本图形正方形,考查古典概型的辨析与其概率计算公式,由于文科考生没有学习排列组合知识,基本上都是先列举出所有的基本事件,再去找满足3 点共线的基本事件的个数.体现了试题的基础性.

特点2：应用性

题目2 (全国Ⅰ卷(文科)第17 题)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位：件)按标准分为A,B,C,D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取加工费90 元,50 元,20 元；对于D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25 元/件,乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100 件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?

解析第一问解答.甲分厂生产的产品为A 等品的频率为=0.4,估计甲分厂生产的产品为A 等品的概率为0.4；乙分厂生产的产品为A 等品的频率为=0.28,估计乙分厂生产的产品为A 等品的概率为0.28.

第二问解法1.设甲、乙两分厂生产的100 件产品的平均利润分别为则

因为1500＞1000,故应选择甲分厂承接此加工业务.

第二问解法2.设甲、乙两分厂生产的1 件产品的平均加工费分别为则=90×0.4+50×0.2+20×0.2+(-50)×0.2=40 元,则甲分厂生产的1 件产品的平均利润为40-25=15 元,100 件新产品的平均利润为1500 元；=90×0.28+50×0.17+20×0.34+(-50)×0.21=30元,则乙分厂生产的1 件产品的平均利润为30-20=10 元,100 件新产品的平均利润为1000 元；因为1500＞1000,故应选择甲分厂承接此加工业务.

评注本题以工业生产中的总厂分配加工业务为背景,以两个分厂的A 级品概率和厂家基于“平均利益最大化”的决策设问,考查考生应用所学的概率与统计知识——用样本估计总体(频率估计概率,样本均值估计总体均值),对实际数据的分析处理能力.

特点3：突出劳动与体育教育

(1)突出劳动教育

题目3(全国Ⅰ卷(文理科)第5 题) 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系,在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,···,20)得到下面的散点图：

由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析根据散点图趋势分析,与对数型曲线比较切合,故选D.

评注该题以模型的形式,考查学生整理和分析信息的能力.本题体现劳动教育.发挥高考试题在培养学生动手能力和劳动观念中的引导作用.通过学习兴趣小组观察发芽率与温度之间的关系,考查了回归分析中的散点图的意义,基本初等函数的图像.对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的增长速度的理解.不涉及任何计算,突出了回归分析中的感性认知.

(2)突出体育教育全国Ⅰ卷理科第19 题体现了体育教育,在本文第三部分呈现.

三、全国Ⅰ卷理科第19 题的解答与评析

题目4(全国Ⅰ卷理科第19 题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.

经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

1 试题背景

(1)题材背景：

试题体现了体育教育,巧妙地将概率问题融入常见的羽毛球比赛中,以参赛者获胜的概率设问.

(2)知识背景：

(i)分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

(ii)古典概型；

(iii)事件的拆分及事件之间的关系的判断；

(iv)事件的独立性；

(v)互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率计算公式的运用.

(3)数学思想与方法背景：

(i)考查了学生的逻辑思维能力；

(ii)考查了对事件进行分析、分解、转化的能力；

(iii)考查了分类讨论的思想；

(iv)考查了化归与转化的思想.

2 试题的结构与立意

(1)试题的条件是羽毛球比赛的赛制：

(i)淘汰2 人,被淘汰者累计负2 场,则比赛至少进行4场；(ii)5 场比赛必然淘汰2 人,则比赛至多进行5 场；(iii)3名选手水平相当.

(2)试题要解决的问题有3 个,容易读懂题目的要求.

(3)试题立意：重在多角度、多层次考查学生分析问题与解决问题的能力,感悟数学的理性精神,有克服和战胜困难的勇气.

3 解题思路(含试题的一题多解)

第一问解答 设A=“甲连胜四场”,则

评注解决概率问题时,应完成以下几个基本步骤：(1)设事件；(2)对事件进行拆分；(3)辨析事件与事件之间的关系；(4)利用事件与事件之间的关系选择适当的概率计算公式；(5)计算并作答.

关键点概率计算不等同于算术.

第二问解法1(间接法) 根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛,设B=“需要进行第五场比赛”

比赛四场结束,共有三种情况,

B1=“甲连胜四场”,则

B2=“乙连胜四场”,则

B3=“丙上场后连胜三场”,则

所以P(B)=1-P(B1)-P(B2)-P(B3)=

评注解法1 通过正难则反,求出其对立事件的概率.是本问的最优解法.但很多考生会忽略其对立事件中的第3 种情形“丙上场后连胜三场”.

第二问解法2(直接法) 五场比赛后,按最终获胜方分类有如下三种情形：

(1)若五场比赛后甲获胜,则第五场甲胜,按前四场分四类

(2)若五场比赛后乙获胜,则第五场乙胜,同甲获胜则五场比赛后乙获胜的概率为

(3)若五场比赛后丙获胜,则第五场丙胜,按前四场分三类：

评注直接法主要是用到分类讨论的思想,两层分类：第一层是三类,甲、乙、丙分别需要进行五场比赛；第二层是甲、乙分别分四类,丙分三类.这种方法需要考生思维清晰,具有一定的难度.

第二问解法3(树图法) 设B：“需要进行第五场比赛”,树图中前者为胜,后者为负.如“甲乙”表示在这一场比赛中甲胜,乙负.则：

首场比赛为“乙甲”的情形相同,则8 条线中除第(1)、(5)外,其余均需第五场比赛.所以

评注树图法直观形象,用到了数形结合的思想.比较容易产生的错误是树图画到第五场,基本事件数变为28,使得事件不具备等可能性而导致错误.

第二问解法4(位置分析法) 设B：“需要进行第五场比赛”.若要进行第五场比赛,则前四场必有一位被淘汰,其余2名选手各负一场,用A、B、C 分别表示甲、乙、丙在某场比赛中失败.

(1)当甲被淘汰时,前四场负的情形即对A、A、B、C 进行排列,且首位必须_是A 或B,A 与A 不能相邻.____________

(ii)B 在首位,只有BACA 这1 种情形.

(2)同理,乙被淘汰,有5 种情形.

(3)当丙被淘汰时,有两种情形：ACBC、BCAC.

评注位置分析法用等价转化的思想,把事件“需要五场比赛”所包含的基本事件数转化为用排列来求解.

第二问解法5 所有可能事件为(列出前四场每场失败者)：

乙丙乙甲,乙丙甲丙,乙丙甲乙,乙甲乙丙,乙甲丙甲,乙甲丙乙,

甲丙甲乙,甲丙乙丙,甲丙乙甲,甲乙甲丙,甲乙丙乙,甲乙丙甲,

所有基本事件总数为n=24=16,P(B)=

评注此法类似解法3,只是把树图法求事件“需要五场比赛”所包含的基本事件数变为用列举法,解法3、4、5 都是用古典概型求概率的公式求解.

第三问解法1(直接法) 丙最终获胜,有两种情况：

第二种：比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种：胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为

评注此法利用分类讨论的思想,是标准答案的解法.

第三问解法2(间接法) 甲最终获胜概率P甲等于乙最终获胜概率P乙,甲最终获胜有两种情况：

评注解法2 通过正难则反,丙最终获胜的对立事件为甲、乙最终获胜事件的和事件,利用对立事件的概率公式计算.

第三问解法3 若丙要获胜,有以下两种情形

(2)五场获胜,则前四场必淘汰一人.

若丙被淘汰,有：①甲乙—甲丙—丙乙—甲丙,②甲乙-—乙丙—乙甲—甲丙,两种情形P(丙淘汰)=P2=P(五场丙胜)=

综上,P(丙胜)=

评注类似于解法3.利用第2 问的结论,在需要进行五场比赛的前提下,求五场比赛丙获胜,其对立事件为五场比赛丙被淘汰.

第三问解法4(位置分析法) A、B、C 表示甲、乙、丙输,丙最终获胜有两种情形：

(1)甲、乙各输2 场,丙一场未输,即AABB 排列,且A 与A、B 与B 不相邻,即ABAB 或BABA,所以P1==

(2)丙在输一场的前提下取胜,即AABBC 排列,首场为A 或B,其中A 与A,B 与B 不相邻,且C 不在末尾

以B 来排首位情况相同,共有P2=

综上,P(丙胜)=P1+P2=

评注类似于第2 问的解法4.

第三问解法5(表格法) 以“√”、“×”“-”分别表示丙在某场比赛中取胜、失败、轮空,设C=(丙取胜),则丙取胜的情形及分别的概率如下：

场次P_情______________________________________形①②③④⑤1-×-√√(1 2___)3 2-√√×-(1 2___)3 3-√√×√(1 2___)4 4-√√√(1 2___)3

评注解法5 是本题的最优解法,分类讨论清晰明了,概率计算直观简洁.

3 试题的变式

变式1第3 问变为“求甲最终获胜的概率”.

根据赛制,比赛要么四场结束,要么五场结束.

②比赛五场结束且甲最终获胜,则按照甲的胜、负、空结果有四种：负空胜胜胜,胜负空胜胜,胜胜负空胜,胜胜胜负胜,概率分别为：因此甲最终获胜的概率为：

变式2第3 问变为“求丙被淘汰的概率”.

解法1根据赛制,P(乙胜)=P(甲胜)=P(丙被淘汰)=P(甲胜)+P(乙胜)=

解法2P(丙被淘汰)=1-P(丙胜)=

变式3设X表示比赛需要的场数,求X的数学期望.

X的所有可能取值为4、5,根据题意,X=4 的事件为甲连胜四场,乙连胜四场,丙出场后连胜三场三个事件的和事件,所以P(X=4)=

X=5 的事件为第(2)问中所描述,所以P(X=5)=因此X的分布列为：故E(X)=

限于篇幅,仅给出三种简单的变式.读者可以从知识拓展、思维拓展、能力拓展三个维度给出本题的变式.

四、备考建议

1 夯实基础,熟悉整个概率与统计的知识脉络

对整个概率与统计主题的每一个概念对照2017 版“普通高中数学课程标准提出的要求进行学习,对概率与统计的知识结构要有清晰的了解并掌握.

2 加强阅读理解能力与数据处理能力的培养

概率与统计是高考试题中相对独立的一个模块,处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体,题材内容非常丰富,生活背景知识特别广泛,注重考查考生的应用意识、阅读理解能力、计算能力、分类讨论与化归转化能力.重视概率与统计的理论知识与实际生活相结合,其中题目文字描述多,对考生的阅读理解能力要求高,重视审题教学,教会学生准确理解题意,时刻思考考题已知的是什么,要求的是什么.能从大量的信息中提取对研究问题有效的信息,并做出判断,这是数据处理能力的基本要求,也是解概率与统计题的基本要求.

数据处理的一般过程是：用抽样方法收集数据,用统计图表整理数据,用数字特征分析数据,用估计思想作出推断.即“图表→信息→公式→模型”,体现了数据处理的四个层次.

3 加强学生解题基本功的培养与训练

学生解题的基本功的培养主要包括以下三个方面.

(1)审题的基本功的培养——“一百天一百题”

思维是无声的话语,言语是出声的思维.在高三复习阶段,和同桌两个人,一起相互监督100 天.每天相互给对方讲解一道概率与统计的解答题.不是简单的把题目条件、答案解析复述一遍,而是扮演起老师引导的角色.将叙述较长、背景结构复杂的题目用自己的语言转述,涉及到的概念要查阅教材,对概念再次的推敲、概括.在这样一个个接连的说题、谈思路、反思错误的过程,学生有机会对自己原来的解题的再次审视,出声表达,自觉的形成印象深刻的解题经验,养成良好的审题习惯.

(2)运算的基本功的培养

数学运算素养的提高既依赖学生的“学”,还依赖于教师的“教”.有一部分教师将问题发生的原因归咎于学生小学初中的运算基础不好,忽略了在高中的教学中提升学生的运算素养的环节；有一部分学生将自己的计算错误归因于粗心大意,而忽略了自己运算习惯和运算心理方面的原因,往往对于自己解题中出现的运算问题置若罔闻,导致学生不重视自己运算素养的提高.

教师在讲解有关计算的习题时,应当注重讲解计算过程中所用的计算方法、计算技巧,暴露思维的形成过程,让学生切实感受到知识形成的过程.在课堂上进行运算过程的示范.

(3)表述的基本功的培养

数学语言是人类最深刻的语言,数学语言表达能力不是一般意义的能够用口头语言和书面语言进行沟通交流,准确表达自己的看法,而是在表达数学的严谨性、应用性、一般性上具有特殊思维性的一种重要能力.与其教学生解法,不如让学生说出想法.在平时的教学中,要训练学生的表达能力.老师每节课要给学生做示范；批改学生作业时,应对表述不当处给与指出与矫正.

4 关注易错点

在概率与统计复习中,要准确理解概念,特别要明确概率问题的核心是事件之间的关系,统计问题的核心是样本数据的收集和整理,即随机抽样和用样本估计总体.

易错点主要有：

①套用公式计算出错；

②事件之间的关系理解不正确；

③使用排列组合公式时出错；

④频率分布直方图、茎叶图的基本概念理解不清；

⑤二项分布、超几何分布分辨不清；

⑥应用独立性检验方法解决问题时出现K2 值计算错误等.

5 作为中学数学教师,需苦练内功,进行高观念下的概率与统计学习

近年来,高考的命题者通过挖掘高等数学中的一些素材来命制高考试题,这种命题现象应该引起老师们的关注.中学教师要加强对概率论与数理统计的深度学习,重视其基本原理的研究,提高自身的专业知识素养；教师能站在高观点的角度看待问题,找到问题的本质内涵,以便更好地指导中学的数学教学.