史琼怡
(浙江省宁波市五乡中学 浙江宁波 315000)
教学内容解析:
本节课是人教A版《数学》(选修2-1)第2章“圆锥曲线与方程”第2节“椭圆”的第一课时内容,主要学习椭圆的定义和标准方程。学生在必修2已初步掌握了解析几何问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。本节课是在学习圆及其标准方程的基础上,将研究曲线的方法拓展到椭圆,是继续学习椭圆的几何性质的基础;同时,本节课是圆锥曲线的起始课,渗透了数学两大体系——几何与代数间的互相转化,几何问题代数化的数学思想,可为后续研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此,本节课具有承前启后的作用,是本章的重点内容。
另外,本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如数形结合思想、类比思想、化归思想等,旨在培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。因此,教师在教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
学生学情分析:
通过对人教A版《数学2》(必修)第三章、第四章的学习,学生初步掌握了解析几何研究问题的主要方法——坐标法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形,基本实现了数与形、代数与几何之间的联系。但如何将几何问题代数化仍然是多数学生理解的难点。
本节课授课班级是笔者所在学校的普通班,数学基础水平总体较弱,且学生普遍对数学有一定的畏难情绪,对于较复杂的计算问题,往往不知如何入手,计算能力较弱。
教学目标设置:
根据本节课的内容特点及学生的认知水平,确定本节课的教学目标:1.归纳并理解椭圆的定义;巩固用坐标法求动点的轨迹方程,体会含有两个根式的化简思路。2.通过归纳椭圆概念,化简椭圆方程,培养数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养;学习掌握概念教学中类比、化归等数学思想方法;3.经历椭圆标准方程的推导,增强学生战胜困难的意志品质,并体会数学的简洁美、对称美。
教学重难点:
教学重点:掌握椭圆定义及标准方程,理解坐标法的基本思想;教学难点:推导椭圆的标准方程。
教学过程分析:
同学们,我们每个人手里都有一张圆形纸片,今天我们用折纸游戏发现椭圆,要求如下:
1.在圆形纸片内取异于圆心F2的定点F1;2.将圆形纸片的边缘向内折叠,使圆形纸片的边缘过定点F1(即纸片边缘上的一点A与定点F1重合);3.画出折痕(图1);4.重复上述操作,使折痕足够密集(图2)。
问题1:你有什么发现?
设计意图:学生进行直观感知、思考,激发学生学习兴趣,培养他们发现问题、提出问题、探究问题的能力,为下一步做铺垫。
问题2:请同学们用数学的眼光重新分析折纸游戏。思考:在折纸的过程中,点与定点和对应的折痕有什么位置关系?
设计意图:折纸游戏引发学生探索的积极性,从折纸情境中抽象出数学原型,找到形成椭圆的数学本质,提升学生数学建模、数学抽象等核心素养。但椭圆形成的过程比较抽象,其中隐含的数学问题和数量关系还需要进一步分析,教师通过问题链引导学生发现结论,培养学生分析问题、解决问题的能力。
问题3:如图3,你能否从“点”的运动角度思考椭圆的形成?连接AF2交折痕于点P,你能发现点P和椭圆的位置关系吗?
设计意图:折纸游戏让学生发现AF1的垂直平分线围成了一个椭圆。微观上讲,椭圆可以看作一些点的集合,通过师生活动,引导学生从“点”的视角探究椭圆,揭示数学本质。
问题4:如图4,连接AF1,AF2,AF1的中垂线BC交AF2于点P,当点A运动时,有哪些不变的量?
设计意图:定量关系是学生的思维障碍,从动手操作得到的几何图形中进一步抽象,提炼出数学结论。通过几何画板的动态演示,学生能更直观地感受到图形中存在的定量关系。
问题5:椭圆的定义是什么?
设计意图:通过引导学生从定点、定长等方面总结归纳出椭圆的定义,同时类比圆的定义,为后续研究双曲线、抛物线做铺垫,同时让学生叙述椭圆的定义,锻炼语言表达能力和数学归纳总结能力。
问题6:回顾圆的方程推导过程,我们如何推导椭圆的方程?如何对这个方程进行化简?
设计意图:1.类比圆的方程建立的过程得到椭圆的方程,让学生充分感受知识之间的联系,体会解析几何的思想方法;2.方程的化简运算是本节课的难点,通过对方程结构的分析,指导学生得到解决带根式方程问题的统一方法,为后续研究双曲线、抛物线的方程做铺垫;3.学生在动笔计算的过程中可以充分体会解析几何的核心思想方法——通过代数方法解决几何问题,培养和锻炼了学生的运算求解能力,体会代数与几何两大体系间的联系和转化。
问题7:如果椭圆的焦点在y轴上,那椭圆的方程又如何?
设计意图:利用类比对称,化归的思想让学生体会问题的本质,只是位置不同,图形是一致的,得出焦点在轴上的椭圆的标准方程,避免繁杂计算。
问题8:椭圆的标准方程中三个参数a,b,c的关系怎样?如何从椭圆的标准方程中判断椭圆焦点的位置?
设计意图:通过归纳总结,让学生对两种方程进行对比分析,强化对椭圆方程的理解,有助于教学目标的实现,培养学生的总结归纳能力,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础。
例2:一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,则动圆圆心的轨迹是什么?
设计意图:例1可以利用定义,也可以用圆中求参数的方法,通过用待定系数法解决。例2考察用折纸法形成椭圆的数学本质。
本节课的重点是椭圆的定义,难点是化简变形和运算,两道练习题的设置强调了本节课的重点,也为解决几何运算求解问题提供了可参考性的方法。
思考:1.本节课学习的主要知识是什么?2.求椭圆标准方程常用方法是什么?3.本节课涉及了哪些数学思想方法?