高等数学中“方程”根的问题

摘 要：在高等數学的学习中会涉及到“根”的问题，如何正确区分是方程的“根”还是“导函数”方程的根，以及“根”的存在性、唯一性;以及如何求出“根”，需要深入分析研究。本文通过对高等数学教材中涉猎到的涵盖“根”问题的相关知识点进行了归纳梳理总结，以便达到清晰思路，举一反三，精准解决问题的目的。

关键词：高等数学;根;导函数方程

高等数学学习中 “根”的问题，是高等数学教学中一个非常重要的内容，也是一个难点所在。首先要明确是方程的根还是导函数方程的根，因为不同类型方程的根将会采用不同的解题原理。我们梳理了一下，总结出有以下两部分的知识点中涵盖“根”的问题。（1）闭区间上连续函数的性质（2）微分中值定理。如果我们能够在教学中把各种知识点中“根”的问题进行归类，无疑对学生系统掌握知识，运用知识，清晰思路都是非常好的一件事情，而且能帮助学生突破这个难点。

一、方程根的问题

在“闭区间上连续函数的性质”这一节讲到“方程的根”，解决方案是“零点定理”。

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，那么函数f（x）在开区间（a，b）内至少有一个零点，即至少存在一点使得

所以当我们判断出是要求“方程根”的问题，我们就会选择“零点定理”来解决。注意做题时首先要构造“辅助函数”，再去检验这个函数满不满足“零点定理的条件，如果满足就直接用，如果不满足就创造条件用。

例1.证明方程在内（0，1）恰好有一个实根

分析：这个题目需要证明“存在性”和“唯一性”两个方面。

二、导函数方程根的问题

在“微分中值定理”这一节讲到“导函数方程的根”，解决方案是“罗尔定理”。

例1.设函数 f（x）=（x-1）（x-2）（x-3），试判断方程 f '（x）=0 有几个实根，分别在何区间？

分析：罗尔定理常用于讨论导函数零点的存在性。

通过 f（a）=f（b）找出 f（x）连续、可导的区间;再利用罗尔定理判断导数方程根的个数。

因为 f（1）= f（2）= f（3）=0 接着判断 f（x）在[1，2]、[2，3]上是否符合罗尔定理。

解：因为 f（1）= f（2）= f（3），

且f（x）在[1，2]上连续

在（1，2）内可导，由罗尔定理，$x₁?（1，2），使 f?（x₁）=0

同理，$x₂?（2，3），使 f '（x₂）=0

故 f '（x）=0有两个实根

又因 f '（x）=0是二次方程，至多两个实根

一般地，n次实系数多项式至多有n个实根

故f '（x）=0有两个实根，分别位于（1，2）和（2，3）内.

综上：（1）导函数方程根的问题用罗尔定理（2）方程根的问题用零点定理（3）根的个数问题用单调性论证。

参考文献

[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M].北京：科学出版社，2010.

[3] 罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M].北京：科学出版社，2010.

作者简介：吴文前成都大学信息科学与工程学院副教授，硕士。研究方向：数学教育。