牛顿-莱布尼茨公式由特殊到一般的教学探索

摘 要：介绍“由特殊到一般”的教学方法在牛顿-莱布尼茨公式教学中的具体运用。根据现行高等数学内容，提出通过复习引入、分析特例、提出猜想、严格证明等步骤引导学生自主探索计算定积分的简便方法—牛顿-莱布尼茨公式。

关键词：牛顿-莱布尼茨公式;教学探索;高等数学

一、 绪言

高等数学是高职院校的一门重要的基础理论课，其具有逻辑性强、抽象性强等特点。对于高职学生而言，普遍感到数学概念、公式、推导过程等非常抽象，难以理解，对高等数学的学习具有强烈的畏难情绪。因此在教学过程中，如何把抽象的内容具体化，把复杂的问题简单化，从而激发学生的学习兴趣，提高课堂的教学效果就显得尤为重要。从特殊到一般，再由一般到特殊，这是认识的一个基本规律，这一规律也同样适用于数学学习过程。纵观各年级的数学学习，对公式、定理等的学习往往都从特殊的例子开始，通过总结归纳得出一般的猜想，再经过严格的证明后，使之成为一般结论，进而用他们来解决其他的数学问题。在整个由特殊到一般的思维过程中，学生不仅仅学会了一个数学公式、会解一道数学题，更培养了学生的逻辑思维和归纳推理等能力。

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中最重要的公式，被称为微积分基本公式，在教材中处于及其重要的地位。它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法。文章嘗试遵循由特殊到一般的教学方法对学生进行建构教学，由教师提出一系列环环相扣的问题，在教师的启发和引导下，让学生自主分析、探索，并在探索的过程中归纳总结出牛顿-莱布尼茨公式。

二、 复习导入

二、 分析特例

著名的数学家希尔伯特曾经说过“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用”。那么我们尝试从研究特殊的问题出发，猜想是否存在计算定积分的简便方法。

也就是说速度函数在一段时间间隔上的定积分表示成了它的原函数在该区间上的增量。

（二）几何问题

从求变速直线运动的路程和求直角梯形面积入手，分析解决这两个问题的方法有何共同之处;通过几何和物理问题，分析探索计算定积分的新方法，培养学生的抽象思维能力。

三、 提出猜想

分析刚才举到的两个几何和物理问题，函数在一段区间上的定积分都等于它的一个原函数在该区间上的一个增量，那么对于一般的被积函数，是否也有同样的如下结论：

如果这个猜想是成立的，定积分的计算就转化成原函数的计算，这是之前学生所擅长的，如何简便计算定积分的问题就得到了解决。笛卡尔曾经说过：要想获得真理和知识，唯有两种武器：清晰的直觉和严格的演绎，接下来尝试就猜想进行演绎推理。

四、 严格证明

这个公式将定积分的计算转化为原函数的计算，将两个看似不相干的概念联系起来，使得定积分的计算变得简洁，这就是著名的牛顿-莱布尼茨公式。在自然科学中，一般我们说某个公式特别重要，就喜欢用人名来命名;而牛顿-莱布尼茨公式就非常重要，它在数学领域特别是微积分学领域占有非常重要的地位，就是这一公式的建立，标志着微积分的真正建立。在十七世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别从不同角度独立提出了这一公式，所以后人以他们的名字共同来命名该公式。

牛顿-莱布尼兹公式的提出在微积分学发展史上意义非凡，它又被称为微积分基本公式，它的重要性体现在以下两点：（1）建立了定积分与被积函数的原函数之间的关系，架起了积分学与微分学的桥梁，自此以后，许多物理、天文等方面的实际问题才真正得以解决，从而推动了整个近代科学的发展。（2）该定理表明一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量，提供了一种计算定积分的简便有效的方法，通过两步走，先求原函数，再代入区间端点计算增量。因此，称牛顿-莱布尼兹公式为微积分基本公式是当之无愧的。

六、 应用举例

通过具体实例，来展示这一公式的伟大与奇妙。

这个例题说明，牛顿-莱布尼茨公式大大简化了定积分的计算手续，比采用定积分的定义，通过四个步骤进行计算的方法要简单得多。采用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的关键在于正确计算被积函数在积分区间上的原函数。

七、 归纳反思

（1）通过具体的实际问题，从不同角度分析考虑问题，类推猜想出牛顿-莱布尼茨公式的雏形，并给出严格的证明，最终得到牛顿莱布尼茨公式。（2）牛顿-莱布尼兹公式的深刻揭示了定积分与原函数之间的关系，把定积分与不定积分紧密联系在一起。（3）运用该公式时要注意：求定积分关键在于找到被积函数的原函数。最后利用两步计算法（先求原函数，再代入区间端点计算增量）求出定积分的值。事实上，大部分的定积分都可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行计算，大家课后需通过多加练习熟练掌握各种形式的定积分计算问题，进而达到学以致用的目的。

通过在牛顿-莱布尼茨公式一课教学中采用由特殊到一般的教学方法，顺应了学生的思维过程，课堂气氛变得非常活跃，学生都能够跟随教师积极参与到课堂教学中来。学生不仅充分理解了牛顿-莱布尼茨公式，更学会了这个工具背后所体现出的解决问题的数学思维方法—由特殊到一般，再由一般到特殊。实践表明，运用由特殊到一般的教学方法，不仅提高教学效果，更培养学生发现、分析和解决问题的能力。

作者简介：

王芳，浙江省杭州市，武警士官学校。