“创新?运算素养”视角下一道初三数学题的深入探究

马向玲

摘要：二次函数压轴题是历年中考的热点与难点，其中动点与几何图形结合的最值问题?存在性问题，知识覆盖面广，综合性强，构思精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年中考的热点。最值问题解决策略是建立函数模型，根据自变量范围求解最值;存在性问题解决的一般思路：假设存在→推理论证→得出结论，解决此类问题策略是化动为静，化大为小，逐一解决的过程。

关键词：二次函数  最值问题  存在性问题

函数是中学数学中相当重要的一部分内容，其中求函数的最值问题和存在性问题是一个重点，但由于函数形式的多样性和复杂性，如何求解函数的存在性问题又是中学生學习的一个难点。因此关于此项内容的研究一直就是本学科的一个重点内容。

《义务教育数学课程标准（2011）版》提出10个数学核心素养，包括符号意识，数感，几何直观，运算能力，推理能力，数据分析观念，空间观念，模型思想，应用意识和创新意识。在数学教学中，一题多解，变式训练都是培养学生创新素养的方式。本文着重讨论一个典型的二次函数最值和存在性问题，通过变式训练?逻辑归纳和灵活运算，培养学生的创新?运算素养，达到综合提升学生的数学学科素养的目标。

一?中考解读

二次函数是中考必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，又可以与几何知识相结合，与几何相关的二次函数最值和存在性问题更是重中之重，该类存在性问题主要有线段存在性?面积存在性?特殊三角形存在性?相似三角形存在性?特殊四边形存在性和角的存在性等问题，在这里精选典型例题有选择地针对某些方面进行深入探究。

二?典例分析

题目：如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（4，0），B（-1，0）两点与y轴交于点C，动点P在抛物线上.①求抛物线的解析式;②若点P是第一象限抛物线上一动点，过P作X轴的垂线，垂足为点E，交直线AC于点F，当线段PF有最大值时，求点P的坐标，并求出线段PF的最大值。③是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，说明理由.

分析如下：①待定系数法求解析式。将已知点A（4，0），B（-1，0）坐标带入抛物线y=-x²+bx+c，得到关于b，c的二元一次方程组，解方程组得到b，c的值，从而得到抛物线解析式y=-x²+3x+4;②由（1）得点C（0，4），再由点A（4，0），待定系数法求得直线AC解析式，根据抛物线解析式y=-x²+3x+4，设点P（x，-x²+3x+4），，点F（x，-x+4），根据题意PF=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）² +4（0≤x≤4），当x=2时，PF最大值=4，则P（2，6）

挖掘变式1：当点P是抛物线上任意一点时，过P作X轴的垂线，垂足为点E，交直线AC于点F，当线段PF有最大值时，求点P的坐标，并求出线段PF的最值？

分类讨论：设点P（x，-x²+3x+4），，点F（x，-x+4）;当点P在点F上方时，PF=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）² +4（0≤x≤4）;当x=2时，PF最大值=4;当点P在点F下方时，PF=（-x+4）-（-x²+3x+4）=x²-4x=（x-2）² -4;当x=2时，PF最小值=-4，挖掘变式2：对称轴上一动点P到点C，B的距离之和最短。求点P的坐标？（最短路径解决）（3）存在.

方法一：第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CP₁垂直AC，交抛物线于点P_1.过点P₁作y轴的垂线，垂足是M，∵∠ACP₁=90⁰，∴∠MCP+∠ACO=90⁰，∵∠ACO+∠OAC=90⁰ ，∴∠MCP₁=∠OAC，∵OA=OC=4，∴∠MCP₁=∠OAC=45⁰，∴∠MCP₁=∠MP₁C，MC=MP₁，设P（m，-m²+3m+4），则m=-m²+3m+4-4，解得m₁=0（舍去），m₂=2，∴m=2，此时-m²+3m+4=6，即p₁的坐标是（2，6）

第二种情况，当点A为直角顶点时，过点A作AP₂⊥AC交抛物线于点p_2，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，则P₂N平行x轴.∵∠CAO=45^0，∴∠OAP₂=45^.，AO=OF，∴P₂N=NF，设P₂（n，-n²+3n+4），

则-n+4=-（-n²+3n+4），解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），∴n=-2，此时-n²+3n+4=-6，即P₂的坐标是（-2，-6），综上所述：P的坐标是（2，6）或（-2，-6）此方法用分類讨论的数学思想，通过作垂线，借助已知条件，构造等腰三角形，利用等腰三角形两边相等特质建立方程模型解决问题。这是学生常用的方法，在这里对学生思路的启发是重点。

方法二：直线AC解析式：y=-x+4，∵AC为直角三角形的直角边，则设另一条直角边PC为：y=x+k，过点C（0，4）;即直线PC：y=x+4，又点P既在直线AC上，又在抛物线上联立方程组：，解得x=0（舍去）， x=2即p（2，6），同理直线PA：y=x-4与抛物线解析式联立方程组，求解得P（-2，-6），综上所述：P的坐标是（2，6）或（-2，-6），此方法在明确一次函数和二次函数与方程的关系的基础上，建立方程组模型解决问题。该方法思路简单，直接明了，重在计算。

挖掘变式3：抛物线上是否存在点P，满足三角形PCA是直角三角形？存在，求点P坐标;不存在，请说明理由。

挖掘变式4：抛物线上是否存在点P，满足三角形PCA是等腰三角形？存在，求点P坐标;不存在，请说明理由。

三?思考总结

通过对这道二次函数重点题型的最值和存在性问题的深入剖析，充分挖掘，归纳方法：二次函数最值问题解决方法是可以建立二次函数模型，根据自变量的取值范围轻松求解;二次函数存在性问题解决的一般思路是“假设存在→推理论证→得出结论”，解决此类问题策略是化动为静，化大为小，逐一解决的过程。

通过对这道二次函数重点题型的最值和存在性问题的一步步探索，使学生亲身经历探索知识和函数建模的思维过程。通过数形结合?分类讨论思想地洗礼，使学生解题的思维灵活性与深刻性得到深刻的锻炼，使学生的数学创新素养与运算素养得到无形的提升。

二次函数是初中数学的重要内容，也是初高中数学知识衔接的重要内容，二次函数已经成为中考命题的重头戏。尤其是这些以二次函数为背景的动点最值问题?存在性问题，它融合了一次函数?平面几何等知识点，综合性较强，区分度高，受到命题组的一致青睐。因此通过典例训练，能够培养学生的数学能力，提高学生数学成绩，提升学生创新素养和运算素养，提升学生整体数学学科核心素养。

参考文献：

（1）王真.二次函数压轴题解题策略.中考数学试题研究.[J]，2018（02）

（2）李远翠，潘亦宁，李玥.二次函数动点存在性问题的破解策略[J].中学数学教学参考，2016（1）