函数凹凸性在高考数学中的命题分析

纪定春

(四川师范大学数学科学学院 610068)

一、函数凹凸性及等价命题简介

定义设f是定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈(0,1)总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凸函数.

反之，如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凹函数.

注意：为了便于识记，以下不妨将凸函数、凹函数分别称为下凸函数和上凸函数.

函数凹凸性的几个等价命题：

(1)当切线(一阶导数)在函数图象上方时，函数是上凸函数，反之为下凸函数；

(2)当一阶导数单调递减时，函数是上凸函数，反之为下凸函数；

(3)当二阶导数小于等于零时，函数为上凸函数，反之为下凸函数.这几种描述方式都是等价的，只是所站的角度不同，可参见文[2].

二、函数凹凸性在高考数学试题中的命题分析

函数的凹凸性作为描述连续函数局部性质的方法，不仅在高等数学中具有广泛而重要的应用价值，而且是高考数学的命题热点.在刻画函数的凹凸性时，可以利用一阶、二阶导数等，这就将函数的凹凸性与高中数学中的导数知识联系起来.近年来，为何以导数作为高考数学的压轴题呢？有三点猜测：其一是导数本身蕴含了丰富的数学思想，如分割思想、极限(逼近)思想、特殊与一般思想、局部与整体思想等；其二是导数是研究连续函数和离散变量的重要工具，如在连续函数中，求函数的最大值、最小值、极值、拐点等，在离散型变量中，如求数列通项、求和、求极限等.其三是高中导数与大学数学中的知识点交汇较多，可以为高考数学命题者提供更多的视角和切入点.

例1(2018年高考理科全国卷Ⅰ第16题)已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是.

f(x)=2sinx+sin2x=sin(π-x)+sin(π-x)+sin2x

评注该试题在当年高考中的得分率比较低，看似简单的试题，实则具有很强的“杀伤力”，很多考生过后反映，该题的运算量太大了，在高考场上耽误了太多时间.但这是高考数学中的一道优秀试题，值得细细地去品味.其实，该试题的思路有很多，如导数法、换元法、均值不等式法等，或者是凭借不等式的取等条件，用已有的经验去“先猜后证”.

例2 (2017年全国高考数学文科卷Ⅱ第21题)设函数f(x)=(1-x2)ex.

图1

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

所以，a的取值范围为[1,+∞).

评注该方法是从函数的凹凸性来求解参数的范围，当然该试题的思路开阔，解决方法较多，如分类讨论法、参数分离法、构造导数定义法、洛必达法则、柯西中值定理、拉格朗日中值定理等.在高考数学考试中，可以借助导数为工具，画出函数的大致图象，然后再利用二阶导数来判断函数的凹凸性，这对求解切线的斜率问题是有帮助的.

例3 (2014年新课标2理科第21题)设函数f(x)=ex-e-x-2x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；

解析问题(1)和问题(3)解答略.对问题(2)，由题可知g(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)>0，即e2x-e-2x-4b(ex-e-x)>(4-8b)x.不妨设函数m(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)，则m′(x)=2e2x+2e-2x-4b(ex+e-x).注意到m′(0)=4-8b，且m(x)过点(0,0)，所以直线y=(4-8b)x恰好是函数m(x)在x=0处的切线.

当x>0时，要使得e2x-e-2x-4b(ex-e-x)>(4-8b)x成立，则需要过原点的直线y=(4-8b)x始终在函数m(x)图象的下方.如果能够说明函数m(x)在x>0时为下凸函数，则问题解决.对m′(x)求导，可得

m″(x)=4e2x-4e-2x-4b(ex-e-x)=4(ex-e-x)(ex+e-x-b).

令m″(x)=0，则ex-e-x=0或ex+e-x-b=0.由ex-e-x=0，可得x=0.代入ex+e-x-b=0，可得b=2.此时，函数m(x)只有x=0这一个拐点，即函数凹凸性的连接点.则现在需要对b进行讨论，当b≤2时，易得x∈(-∞,0)时，有ex+e-x-b>0，ex-e-x<0，则m″(x)<0，于是m(x)在x∈(-∞,0)上是上凸函数.同理，可以判断函数m(x)在x∈(0,+∞)上是下凸函数.对b>2，可判断不成立.故要使m(x)>(4-8b)x，则需要b≤2.

评注该方法主要是关注函数m(x)在x=0处的切线，恰好是直线y=(4-8b)x的斜率，进而想到使用函数的凹凸性来求参数的取值范围.可见，高考导数中求参数最值问题，常常利用函数的凹凸性来作为命题点.

(1)求实数a，b的值；

①求实数m的最大值；

②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

例5 (2005年全国高考理科卷Ⅰ第22题)(1)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0

(2)设正数p1，p2，p3，…，p2n，满足p1+p2+p3+…+p2n=1，求证：

p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥-n.

解析问题(1)解答略.问题(2)，可以用传统的数学归纳法，这是一个关于正整数n的命题，并且问题(1)的结论，可以为问题(2)作归纳奠基，则只需要说明归纳假设和归纳总结即可，但是解答过程比较繁琐，现在用高等数学的方法来证明.

因为00，所以函数g(x)在x∈(0,1)是下凸函数.由詹森不等式，可知p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n

即p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥-n.

评注可见，从高等数学的视角出发，可以极大地简化运算量.只需要掌握函数凹凸性的两个核心步骤即：求导判断、放缩，然后就直接使用詹森不等式来证明，而詹森不等式，就是推广了的函数凹凸性的不等式性质.因此，从本质上讲，依然是用函数的凹凸性.

三、对数学教学的启示

要回归教材.高中数学教材是学生学习数学知识和形成数学素养的重要载体.然而，现行的高中数学课堂，已经脱离了数学教材，更多的是用导学案、辅导资料等来代替教材，通过短时间的知识讲解，就进入几乎“疯狂”的“刷题+评讲”模式，然后在不断的试错中积累数学经验.在这种教学模式下，学生体会不到数学学习的快乐，感觉数学就像是无尽的深渊.2012年，新浪微博曾做过一项调查，有将近70%的人想让数学“滚出高考”，可见大部分人曾经被数学伤害过.这可能是“题海战术”对他们的身心造成了伤害.其实，数学教学应该回归课本，将课本的知识点、习题、思考题等掌握好，然后再做适当的思维拓展题，这就足以应对高考试题了.同时，也可以留更多的时间来锻炼和提升学生的其它能力，如组织、管理、口才、演讲等能力，促进学生身心全面和谐的发展.