高中立体几何多面体外接球类问题探究

孙 甲

(四川省成都市龙泉中学 610100)

目前普遍认为这类题顺应了新课程改革中从注重知识技能的考查向注重思维、空间想象能力考查的要求.但这类题对目前的高中学生来讲存在不小的难度.原因是：1.新课标人教版A高中教材对球体部分内容进行了删减，只保留了球的表面积公式和体积公式，自主探究中则根据祖暅原理给出了球体体积公式的推导(半球内剔除同底等高圆锥).但关于球体的一些具体性质却没有在书中作为性质给出.虽然推理与证明部分有:根据合情推理中的类比推理，结合圆的性质推导球的性质的叙述. 但显然知识学习的要求大大降低了.对学生来说在这种知识前提下探讨多面体外接球问题无疑是有难度的.下面探究这类问题的求解策略.

一、补体法

例1 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为：1，2，3，则此三棱锥外接球的表面积为____.

分析共点的三条线两两垂直，让我们想到了长方体的一个角.据此我们把此三棱锥补成长方体.如图1,则三棱锥A′-AB′D′的外接球和长方体ABCD-A′B′C′D′的外接球相同，因此原问题就可以转化为求长方体的外接球问题，大大降低了题目的难度.

图1

=14π.

变式在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC.若AB=2,BC=3,PA=4，求该三棱锥外接球的表面积.

图2

分析如图2,我们不难得出三条棱PA、AB、BC两两垂直，我们可以以这三条线作为长方体的长、宽、高构造长方体.进而将三棱锥外接球问题转化为长方体外接球问题.

小结例题1的结构特点是几何体中存在三条两两垂直的棱，我们可以尝试利用这三条棱作为长方体的长、宽、高构造具有相同外接球的长方体进而求解.

图3

分析如图3，我们发现三棱锥A-BCD不具备有三根两两垂直的棱这一性质，但以其各棱作为正方体的面对角线，则也可以补成拥有相同外接球的正方体求解.

解析如图3，将三棱锥补成正方体，易知正方体的棱长为1，则有

图4

分析如图4，我们发现三棱锥A-BCD具有三组对边分别相等的结构特征，我们可以将三棱锥六条棱作为长方体的面对角线，进而补成拥有相同外接球的长方体后求解.

解析设长方体共点的三条棱长分别为a,b,c，则有

小结例题2的结构特点是三棱锥的三组对棱分别相等，我们可以尝试将三棱锥的棱作为长方体的面对角线，构造具有相同外接球的长方体后求解.

二、外心垂线法

图5

分析三棱锥的四个顶点都在外接球的球面上，因此四个顶点到外接球的球心距离相等(外接球的半径R).根据这个原则，我们只要确定了外接球球心所在的位置，问题就迎刃而解了.

解析设△ABC的外心为M，过M作△ABC所在平面的垂线，根据正四面体的性质，该垂线经过点P，则外接球的球心在直线MP上.设外接球的球心为O，OM=h.

根据多面体外接球的性质可知：OA=OP,

图6

小结：外心垂线法的具体步骤和依据如下：

1.首先任意确定三棱锥一个面的外心M；

2.过该外心M作所在平面的垂线(平面图形的外心到各顶点的距离相等.结合三角形全等可知：所有到该平面图形各顶点距离相等的点都在经过外心且垂直于该平面的垂线上)，根据多面体外接球的定义可知，外接球的球心必在此垂线上，设外接球的球心为O；

3.根据外接球球心到各顶点距离相等这个性质，列方程，解方程确定外接球球心的位置；

4.求出外接球的半径.