高中数学数列问题的解题技巧

范国栋

(江苏省滨海中学 224000)

数列知识一直以来都是数学考核中的重点内容，也是每年高考的必考环节，若能够掌握其中规律，适当运用一定的解题技巧，则能够有效提高解题效率，增强解题的正确率.下文结合高中数学中常见的数列问题类型，逐一提出了相应的解题技巧，以便于同学们能够进一步领会数列知识点，掌握解题思路，克服在数列问题解题中遇到的困难.

一、错位相减法

在高中数学数列问题的探索过程中，可以发现，“错位相减法”是同学们使用频率较高的一种解题方法.在解题过程中，若遇到等比数列求和问题、等差数列与等比数列相乘的求和问题，就可以选择错位相减法.一般情况下，建议在遇到数列问题时首先运用错位相减法，先在等式的两边同时乘以等比数列的公比，之后再将两个等式相减，最后利用等比数列的前n项的总和公式求和，以此完成解题.在这一过程中，一定要先掌握数列的相关规律，才能够更灵活的运用解题方法.

举例分析，题目为：

已知Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1,其中x≠0且x≠1,求和Sn.

分析：结合题目可知这一题目的通项为等差数列的通项{2n-1}与等比数列的通项{xn-1}之积，是{(2n-1)xn-1}.

该等式两边同乘以等比数列的公比x,得xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn.

之后，再将原式与该式两边相减，

可得到：

(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-(2n-1)xn.

之后，再利用等比数列的求和公式，

可以得到：

一般来说，若需要推导等比数列的前n项之和公式时，就可以使用此种解题方法.

二、倒序相加求和法

倒序相加求和法可以简单理解为：与数列首末项等距的两项之和与首末两项之和相等，则可以将“正”、“反”序两个和式相加，得到常数列的和，则是可以将这种方法称为“倒序相加求和法”.这种方法可以运用于“求等差数列”的数列问题中.

举例分析，题目为：

求1+2+3+4+…+n的值.

解题：可以记

S=1+2+3+4+…+(n-1)+n，

S=n+(n-1)+…+4+3+2+1，

则可得到：

2S=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)

=n(n+1)，

结合上述题目与解题过程，可以发现，在求1+2+3+…+n的过程中，反序相加求和是其基本的解题思想，综合考量这一题目的对称项，可以发现对称项之和为n+1.因此，就不难以想到利用这种方法求解，这样做能够有效避免很多复杂繁琐的解题步骤，只要同学们能够对各个小项合理配对，就能够有效求出公式之和.

三、并项求和法

在数列问题的探索过程中，很多时候我们并不能够幸运地遇到能够运用错位相减法求解的题目，此时可以结合题目的实际情况，比如：已知条件、求解方向、题目公式中的内部规律等，把握题目的类型，若发现这些项与特殊项之间存在联系，有时可以选择并项求和法进行解题.并项求和法就是结合具体的数列，将题目中的某些具有关联的项合并在一起，促使其具备某种特殊的性质.因此，使用合并求和法解题，则可以将题目中的项放到一起先求和，之后再解决“Sn”的问题.

举例分析，题目为：cos1°+cos2°+cos3°+cos4°+…+cos178°+cos179°，求Sn.

结合题目可知其内在联系为各项同名：“cos”，各角成等差数列，对称两项的角度的和为180°,则可以先寻找特殊项，之后利用合并求和法，先求各项之和，之后再求Sn.

具体过程为：

∵cosn°=-cos(180°-n°),

∴Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+(cos4°+cos176°)+…+(cos88°+cos92°)+cos90°=0.

四、分组求和法

分组求和法可以运用到一些特殊的数列问题解题过程中，比如：若某种数列无法从表面上发现其内在规律以此判定是等差数列还是等比数列，则可以将数列根据一定方法进行拆解，以便于掌握其中的内在联系，最终求解，这种数列问题就可以使用分组求合法.

Sn=(2+4+6+…+2n)

结合数列问题，同学们一定要认真观察数列的通项公式，若公式能够满足“拆分成若干项的和，且这些项的和能够构成等比数列或者等差数列”，就可以使用分组求求和法.

总而言之，数列问题是高中数学问题体系中的重点内容，也是不少人解题过程中的“痛点”.因此，同学们要结合具体的数列问题题目情况，根据已知条件与求解方向，灵活选择使用上述的错位相减法、反序相加法求和法、合并求和法、分组求和法，从而克服解题过程中的困难，顺利解题，在考试中取得良好的成绩.