与给定多边形相切的C2 连续三角B 样条可调曲线及其在造型中的应用*

王成伟 张卷美

1. 北京服装学院，北京市 100029；

2. 北京电子科技学院，北京市 100070

与给定多边形相切的分段光滑曲线有着广泛地应用背景[1-2]，有很多学者对给定多边形相切的样条曲线进行了深入的研究[3-9]。 陈素根等[10]在三角函数空间{1，sint，cost，sin2t，cos2t}中构造出一类三角B 样条基函数，基函数中含有一个形状参数，并由此定义了带有形状参数的三角B 样条曲线。 由于此三角B 样条曲线不与控制多边形相切，本文的目的重新构造三角B样条曲线的控制顶点，使其与给定的多边形相切且具有保形性。 具体做法如下:在原来的两个控制顶点之间增加一个新的控制点，切点的位置根据需要可以调整，还可以通过调整三角B 样条曲线中的形状参数，来调整曲线离多边形的远近，曲线可以是闭的也可以是开的，这使曲线设计的灵活性大大加强。 算法实例表明，该算法不但计算简单，而且是实用有效的。

1 三角B 样条可调曲线的构造

设bj(j ＝0，1，…，m) 是m ＋1(m ＞3) 个控制点，由此形成m - 2 个曲线段连成的一条三角B 样条曲线，而第i(1 ≤i ≤m - 2) 个曲线段定义为

其中带形状参数α 的三角B 样条基函数为:

这里α 为形状参数，0 ≤α ≤1。

从三角B 样条曲线的定义(1)式和(2)式中，我们可以得到如下性质:

(1)权性:X0(t) ＋X1(t) ＋X2(t) ＋X3(t)≡1。

(2)非负性:当0 ≤α ≤1 时，对于t ∈[0，1] 有Xi(t) ≥0，i ＝0，1，2，3。

(3)对称性:Xi(t)＝X3-i(1 - t)，i ＝0，1，2，3。

(4)保凸性:由性质(1)和(2)可知，当0 ≤α ≤1，0 ≤t ≤1 时，由控制顶点bi-1，bi，bi＋1，bi＋2来定义的三角B 样条曲线段Pi(t) 是包含在其控制多边形之内。

(5)曲线的端点性质:

当α 增大，曲线离控制多边形就越近；当α减小，曲线离控制多边形就越远。 如图1 所示，三角B 样条曲线段Pi(t) 从下到上，α 分别取0，0.5，1。

1.1 C2 连续的三角B 样条闭曲线

定义 给定的一多边形 ＜V0，V1，…，Vn＞，若矢量Vi-2Vi-1×Vi-1Vi与矢量Vi-1Vi×ViVi＋1方向相反，则顶点Vi称为该多边形的一个转折点。

若多边形的任一个顶点都不是转折点，则称多边形是凸的；否则称多边形是非凸的。

若多边形是凸的，则由它产生的曲线也是凸的；若多边形是非凸的，Vi是多边形的一个转折点，则由多边形产生的曲线在多边形的Vi-1Vi边上产生一个拐点。 这时就称曲线对多边形是保形的。

定理1 设＜V0，V1，…，Vn，V0＞是闭的多边形，定义三角B 样条曲线的控制点如下:

式中λi(0 ≤λi≤1)。

由控制点b2，b3，…，b2n＋5，b2n＋6形成的三角B 样条曲线为

它是与给定多边形＜V0，V1，…，Vn，V0＞每边相切的C2连续的闭曲线且曲线对该多边形具有保形性。

事实上

令

有

特别当λl＝1/2 时，有ωl＝1/2 代入(6)式得

即切点落在第l 条边的Pi(t) 中点上。

同理可证Pi(t)(i ＝1，3，5，…，2n ＋3) 的终点落在给定多边形的第l ＝(i ＋1)/2 条边＜V0，V1，…，Vn，V0＞上，且与该边相切。

由(3)式及(4)式可知，曲线段P2n＋3(t)与P0(t)是＜V0，V1，…，Vn，V0＞连续的，故整条三角B 样条曲线(5)式是与给定的多边形＜V0，V1，…，Vn，V0＞每边相切的＜V0，V1，…，Vn，V0＞连续的闭曲线。

根据三角B 样条曲线段的保凸性，三角B样条曲线(5)式的拐点个数与它的多边形＜V0，V1，…，Vn，V0＞的转折点的个数相同，且拐点必落在切点上。 这说明了曲线(5)式对该多边形具有保形性。

综上可知，三角B 样条曲线(5)式是与给定的多边形每边相切的＜V0，V1，…，Vn＞连续的闭曲线，并且曲线对该多边形具有保形性。

1.2 C2 连续的三角B 样条开曲线

仿照定理1 的证明，对于三角B 样条开曲线，有如下定理:

定理2 设＜V0，V1，…，Vn＞是开的多边形，定义三角B 样条曲线的控制点

式中λi(0 ≤λi≤1)。

由控制点b2，b3，…，b2n，b2n＋1形成的三角B样条曲线

它是与给定多边形＜V0，V1，…，Vn＞每边相切的V0＝(10，20) 连续的开曲线且曲线对该多边形具有保形性。

2 应用举例

下面举例说明用本文的方法构造的三角B样条闭曲线。

例1. 给定平面上一非凸的六边形，其顶点分别为V0＝(10，20)，V1＝(20，50)，V2＝(50，60)，V3＝(35，40)，V4＝(60，20)，V5＝(30，10)。 用本文的算法，对参数(λi，α) 分别取(0.3，1)、(0.4，0.7) 和(0.5，0.5) 绘制了与六边形每边相切三角B 样条闭曲线的三个图形(如图2 所示)。 由图2 可知，λi的取值不同，但α 取值越大曲线与给定的多边形逼近程度越高。

例2. 在服装纸样曲线造型中，根据尺寸大小确定控制多边形，使用本文的与给定多边形斜切的三角B 样条曲线方法，通过对参数(λi，α)进行调整，能满足设计的要求。 图3 为控制参数(λi，α) 分别取(0.4，0.5) 和(0.4，0.9) 的两幅袖山弧线的设计图。 从图3 可以看出，固定λi的值不变，α 越大曲线越靠近给定的多边形。

图示4 是衣身基本纸样两幅设计图， λi分别取0，0.99， 0.3， 0，1；形状参数α 分别取0.6和0.9。 从图4 可以看出，每段λi的取值相同，α 取值越大，曲线与多边形逼近程度越好，曲线越光顺。

3 结束语

本文构造的三角B 样条曲线，不仅与给定多边形＜V0，V1，…，Vn，V0＞每边相切，而且对给定的多边形具有保形性，避免了曲线产生多余的拐点。

曲线是C2连续的；由(6)式可知，改变λi或α 的值，可以改变曲线与给定多边形的相切的位置；固定λi的值不变，调整形状参数α，α 越大曲线越靠近给定的多边形；反之，曲线就远离给定的多边形，这样就可以调整曲线与给定的多边形的逼近程度，更好的满足设计要求。