一道联赛题的解法探究与变式

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

一、一道赛题

这是2010年全国高中数学联赛吉林省预赛第11题，这是一道以圆、向量为背景的条件最值问题，题面简洁，涉及的数学知识和蕴含的数学思想方法非常丰富，很值得深入探究.

二、赛题解法

对于向量条件最值问题，分析清楚条件向量等式(不等式)和待求式子之间的关联性，建立好沟通和转化渠道是求解的关键.

解法2 令x+y=t，则y=t-x代入1=x2+y2+2xycosφ化简整理，得(2-2cosφ)x2+(2tcosφ-2t)x+t2-1=0，

评注其实，本质上解法3与解法4是一样的，解法3直接运用结论，推导此结论的方法就是解法4.

三、赛题变式

经过探究，上述赛题有许多有趣的、有用的、有价值的、有练习意义的、作适当改编的变式题，如：

四、想法

自觉自愿快乐地不断探究高考题和各级各类赛题的解法与变式，是提升教师专业素养的有效途径.教学中引导、帮助学生合作探究高考题、各省市联赛预赛题、全国高中数学联赛试题的解法与变式，对提高学生的数学核心素养是大有裨益的.