在关系辨析中突破表面积教学难点——以《长方体和正方体的表面积》教学为例

马春芳 洪锋华

【教学内容】

人教版五年级下册第23、24 页。

【教学过程】

一、唤醒经验，在生活情境中初步感知表面积

师：同学们，老师给大家带了几个纸盒，如果想把它包装成漂亮的礼品盒，你们猜猜哪个纸盒要用的彩纸多，哪个用的彩纸少？要想知道包装这些纸盒需要多少彩纸，就要知道六个面的总和，这节课我们一起来学习长方体和正方体的表面积。（板书）

【设计意图：学生通过已学知识和生活中的接触情况对长方体和正方体的表面积的特征有所了解，这些特征的认识多数是建立在实物基础上的，从生活中的事物引入课题，激发学生的探究兴趣。】

二、在体、面关系辨析中感悟表面积的概念

1.降维操作，由体到面。

（1）想象关系。想象一下沿着某两个面相交的棱将纸盒剪开，展开后会变成什么形状？下面哪幅图会是这个长方体剪开后的展开图？说说理由。

（引导学生从面的个数、大小、位置关系辨认）

（2）操作验证。大家都认为C 是错的，对A 很认可，对B、D 持保留意见，到底是怎么样的呢？请你沿着长方体的棱剪一剪。

（3）观察关系。剪开的展示图有哪些不同的情况？

（展示具有代表性的展开图）

总结：虽然展开的图形不同，但都是六个面，并且都有三组面的面积是一样的，用“上、下、前、后、左、右”对六个面进行标记。

2.升维操作，由面成体。

（1）如果将长方体展开图折起来还原成长方体，先想象一下哪个面是长方体的上下面、左右面、前后面，再动手操作验证自己的想象。

（2）给相对的面涂上相同颜色，再展开观察，确定长方形与长方体面的对应关系，从而发现长方体六个面的总面积叫做它的表面积。

（3）找一找下面的展开图能围成长方体还是正方体？并找出相对的面。

3.辨析长方体的面和棱的关系。

（1）找面与棱的关系，计算单个面的面积。

①同桌合作，说指定的面，在透视图中指一指。

②在括号里写出长方体某一个面的面积。前面面积=（ ） 下面面积=（ ） 右面面积=（ ）

（2）思考长方体某个面中长方形的长和宽与长方体棱长的关系：

上、下每个面的长方形，长＝长方体的（ ），宽＝长方体的（ ）；前、后每个面的长方形，长＝长方体的（ ），宽＝长方体的（ ）；左、右每个面的长方形，长＝长方体的（ ），宽＝长方体的（ ）。

（3）让学生闭眼想象：长×宽，长×高，宽×高，各表示哪些面的面积。

【设计意图：本节课的内容是学生认识长方体的基本特征后的一节课，认识长方体后学生接触到“体”的知识，学生在计算中不易理解面与体的关系。通过剪一剪长方体、折一折展开图、指一指每个面所对应的棱等活动，有利于学生清晰面和体的关系，从而解决表面积计算问题。在各个环节中，学生通过想象关系、剪开验证，计算单个面等活动，使学生通过操作获得丰富的表象，在活动中发展学生的空间观念，为表面积的计算打下坚实基础。】

三、在计算方法探究中辨析表面积与各个面关系

师：通过刚才的操作，大家知道了长方体表面积的组成，你能尝试求长方体的表面积吗？

1.观察思考：要求这个长方体的表面积，你要知道什么数据？

2.礼物的棱长数据：长7 厘米，宽5 厘米，高4厘米，你能想办法试着求出这个长方体的表面积吗？每位同学至少写出一个算式，并解释算式中每个数表示的意思。

3.汇报交流。

（1）板书不同方法，并说说每个算式表示的意思。

预设1：7×5×2+7×4×2+5×4×2。

预设2：7×5×2+5×4×2+7×4×2。

预设3：（7×5+5×4+7×4）×2。

（2）学生结合图示解释算法，将算式中的数对应各部分名称。

看透视图看到六个面，每个面都出现了两次，计算的顺序可以不同。

看立体图看到三个面，但是每个面都有对应的，计算的顺序可以不同。

（3）讨论关系：比较三种解法有什么不同？有什么联系？哪种解法简便？

不同：前面两种方法是先分别算出对应面的面积和然后加起来。第三种方法是先算上面、前面、左面三个面的面积和，再乘以2。

联系：两类方法可以用乘法分配律进行转化，都是计算六个面的面积。

（4）总结长方体表面积的计算方法。

S表=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。

（5）思考正方体的表面积计算方法，先独立思考，再说说理由。

S表=棱长×棱长×6。

【设计意图：长方体的表面积计算方法是所有小学阶段面积计算步骤最多、表述最长的，在传统教学中，教师总是希望学生用“窍门”记住“长×高×2+长×宽×2+宽×高×2”这个公式，提醒学生从长、宽、高里选两个相乘，但学生还是记不准哪几个相乘，为什么还要再乘“2”，错误率很高。故在教学中，笔者借助图示，将计算公式与长方体的面进行关系对应，让表面积直观可见，列式就有了“依靠”，这是一种基于理解的内化过程。长方体的表面积辨析清楚后，正方体的表面积理解就水到渠成了。】

四、在练习中深化表面积的认识

1.请大家选择老师提供的纸盒（其中一个为正方体），用自己喜欢的方法计算表面积并比较大小。

2.老师家衣柜布罩太旧了准备换块新的，衣柜长0.75m，宽0.5m，高1.6m，老师至少要买多少平方米的布？你能帮助解决吗？

（学生独立解决，汇报中关注学生的典型错误，从对错例的分析中巩固表面积的计算方法）

3.要给一根长0.7 米、宽0.5 米、高3 米的长方体柱子涂漆。

（1）要涂的面积是多少平方米？

（2）如果1 千克涂料可以漆4 平方米，一共需要涂漆多少千克？

（3）如果1 千克的涂漆要30 元，一共要多少元？

4.总结：这节课你有什么收获？生活中的长方体有哪些应用需要计算表面积呢？

【设计意图：练习设计从生活出发，解决现实中的数学问题，训练由浅入深，既巩固了知识，又培养了学生的能力，突出了在应用中学数学的理念。】

为了突破长方体表面积教学的难点，使数学知识、思想和方法在学生的数学实践活动中得到理解与发展，本节课借助“情境探究法”“观察法”“演示法”“比较法”等，在面与体、面与棱、不同方法的关系辨析中，一步步地对学生思维发展进行助力。学生经历了动手实践、自主探索与合作交流等活动，最终形成了长方体表面积的意义建构。