偏序集上的素强滤子

李效民，姜广浩

(1.佛山职业技术学院财经管理学院，广东 佛山 528000；2.淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000)

1 引言与预备知识

为了回答文献[1]中的一个问题，2006年姜广浩等在文献[2]中引入了偏序集上的局部极大理想的概念。2007年，姜广浩等推广了上述概念，并提出了滤子极大理想的概念[3]。此外，潘美林等在文献[4]中给出了弱理想的定义，得到了若干好的结果，进而丰富了特殊元理论。

2017年，唐照勇等在文献[5]中引入了强理想的概念，并研究了其在有限偏序集上的应用。文献[6]引入了强集的概念，并将文献[5]中元素间连通关系的定义推广到一般偏序集上。在此基础上，本文在偏序集上引入素强滤子的概念，并研究其相关性质。此外，考察素强滤子、素滤子、强滤子三者之间的关系。最后得到：强滤子在序同构映射下的像是强滤子；素强滤子在序同构映射下的像是素强滤子。

定义1[1]设E是集合，≤是E上的二元关系，若≤满足以下性质:

(1) ∀a∈E，a≤a;

(2) ∀a，b∈E，a≤b，b≤a⟹a=b；

(3) ∀a，b，c∈E，a≤b，b≤c⟹a≤c，则称≤为偏序关系，称(E，≤)为偏序集，简记E。

定义2[1，7，8]设F是偏序集(E,≤)的非空子集，称F是E的上(下)集，若对∀x∈E,a∈F,a≤x(x≤a)蕴含x∈F,即F=↑F(F=↓F)。定义3[9]A称非空子集I是偏序集(E，≤)的滤子，若I满足以下条件:

(1) ∀a,b∈I，∃c∈I使得c≤a，c≤b；

(2) ∀a∈I，b∈E，a≤b蕴含b∈I。

定义4[5]若I是偏序集(E，≤)的定向真强集，则I是E的强理想。对偶的，若I是偏序集(E，≤)的余定向真强集，则I是E的强滤子。

定义5[6]设I为偏序集(E，≤)的非空子集。称I为E的强集，若I既是上集又是下集，即I=↑I=↓I；称I为E的真强集，若非空真子集I是强集。

定义6[1]设I为偏序集(E，≤)的滤子。若EI=∅或EI为E上的理想，则称I为素滤子。

定义7[1，10]设E与F为偏序集，f:E→F是映射，若∀a，b∈P，a≤b⟹f(a)≤f(b)，则称f是单调映射，单调映射也称为保序映射或序同态映射。

定义8[1，10]设E与F为偏序集，f:E→F是保序双射，若f的逆映射f-1也是保序映射，则称f是保序同构映射或序同构映射。

2 主要结论

定义9设F为偏序集(E，≤)的非空子集，F为E的强滤子。称F为素强滤子⟺EF为E的强理想或EF=∅。

注1素强滤子是强滤子，但强滤子未必是素强滤子。

例1图1是偏序集(E，≤)的Hasse图，E={a,b,c,d,e,f,g，h，i，j}。令F={a，b，c，d，e，f}，则F强滤子，但F不为素强滤子。事实上，EF={g，h，i，j}不为定向集，所以EF不为理想，进而EF不为强理想。

注2素强滤子是素滤子，反之未必成立。

例2图2是偏序集(E，≤)的Hasse图，E={a，b，c，d，e，f，g，i}。令F={a，b}，则F为素滤子，但EF={c，d，e，f，g，i}不为强理想，故F不为素强滤子。

注3素滤子未必是强滤子，强滤子也未必是素滤子。

例3在例2中，令I={a，b}，则I为素滤子。由于I不为强集，故I不是强滤子。

例4在例1中，F为强滤子，但EF不为理想，故F不是素滤子。

综上可得强理想、素理想及素强理想之间的关系如图3：

引理1[6]设F是偏序集(E，≤)的非空子集。则F是E的连通分支当且仅当F既是强集又是连通子集。

定理1设E为连通偏序集。若F为E的强滤子，则F为E的素强滤子。

证明设F是E的强滤子，则F是E的余定向真强集。由偏序集的任一余定向子集都是连通子集，知F是E的连通子集。所以F既是强集又是连通子集。再由引理1知F是E的连通分支。此外，由于E是连通偏序集，故E也是连通分支，即E中只有一个连通分支。所以E=F，则EF=∅，从而F为E的素强滤子。

因为余定向偏序集是连通偏序集，同时也是强滤子。所以易得以下推论。

推论1设E为余定向偏序集，则E本身为素强滤子。

定理2设E和F是偏序集，f:E→F是序同构映射。若非空子集G是E的强滤子，则f(G)是F的强滤子。

证明设序同构映射f:E→F，G⊆E为强滤子。∀a*，b*∈f(G)，存在a，b∈G使得a*=f(a)，b*=f(b)。由G为余定向集，故∃c∈G，使得c≤a，c≤b，由f保序，得到f(c)≤f(a)，f(c)≤f(b)。故f(G)是余定向的。下证任意f(G)既为上集又为下集。首先证f(G)为上集，一方面f(G)⊆↑f(G)，另一方面∀y∈↑f(G)，∃g∈G，f(g)∈f(G)使得f(g)≤y。因为f-1保序，所以f-1(y)∈E且g≤f-1(y)。又G为强滤子，故G必为上集，从而f-1(y)∈G，进而有f(f-1(y))∈f(G)，即y∈f(G)，故↑f(G)⊆f(G)，所以↑f(G)=f(G)，即f(G)为上集。同理可证f(G)为下集，综合可得，f(G)是F的强滤子。

注4由定理2可知，在序同构映射下，强滤子的像仍是强滤子。

定理3设E为偏序集，f:E→E为投射，X⊆f(E)为强滤子。若infEX，inff(E)X存在且infEX∈E，则inff(E)X=f(infEX)。

证明假设X⊆f(E)的上确界存在且属于E，则∀x∈X，由infEx≤x和f的单调性，可得f(infEX)≤f(x)。又由f的幂等性可得f(infEX)≤x，故f(infEX)为X在f(E)中的一个下界。假设a∈f(E)，且a是X的另一个下界，则有a≤infEX，由f的幂等性和单调性，有a=f(a)≤f(infEX)，故f(infEX)是X在f(E)中的下确界。

定理4设E，F为偏序集，f:E→F为序同构映射，若D为E的素强滤子，则f(D)为F的素强滤子。

证明若ED=∅，依据定义9知，D=E是强滤子。由定理2，f(D)=F为强滤子，Ff(D)=∅，即f(D)是素强滤子。

若ED≠∅。由定理2可知f(D)为强滤子，下证Ff(D)为强理想。

∀y1，y2∈Ff(D)，∃x1，x2∈ED，使得y1=f(x1)，y2=f(x2)。由ED为强理想，故ED定向，进而∃z∈ED，使得x1≤z且x2≤z，又f是序同态的，故f(x1)≤f(z)，f(x2)≤f(z)，即y1≤f(z)，y2≤f(z)。又由f(z)∈Ff(D)，故Ff(D)是定向的。

设x∈Ff(D)，y∈F且y≤x。由f序同构，知f-1(y)≤f-1(x)。因为ED为强理想，所以ED为下集，由f-1(x)∈ED，f-1(y)∈f-1(F)⊆E，可得f-1(y)∈ED。故f(f-1(y))∈Ff(D)，即y∈Ff(D)。所以Ff(D)为下集。类似可证明Ff(D)为上集。故Ff(D)为强集。

综上可知，f(D)是素强滤子。