运用图示，延展学生在数学实验中的思维深度

林超

[摘要]图示能突显题干中关键信息之间的相互关系，数学实验能促进静态数学与动态数学的融通，在数学实验中运用图示，是期望运用动态的图示建构实验的思维网络，使学生体验到数学学习的完整与活力。在教学中，教师可以通过“双气泡图”“流程图”“树形图”这三种图示来明确实验教学环节间的互动关系，在整合认知系统、激发类比思维的同时，实现思维的深度延展。

[关键词]图示;数学实验;思维深度

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2020） 29-0027-04

美国教育心理学家诺瓦克教授开发出作为学习脚手架的“概念图”，即利用图示的方法把人脑中的概念、思想与理论可视化，从而便于人们的思考、交流与表达。运用时，只需简单的方框（圆圈）和连线就能表示复杂的概念间的关系（如图1），同时还可以根据学习的需要，在原有的概念关系间加入新的概念及关系。这种图示法早已被广泛运用于数学学科，为学生学习数学知识提供了有力的支持。

目前数学教学中所运用的图示，是综合了多种思维方式的精确表示法，能突显题干中关键信息之间的相互关系，激活旧知。美国教育学家海勒博士开发出一组思维可视化工具“八大思维图示法”（如图2），因其每种图示都对应着一种具体的思维策略，丰富了学生解题的思路，延展了学生解题的深度，被数学教学广泛采用。

郭庆松老师对小学数学实验的界定：在数学思想和数学教学理论的指导下，小学生借助实物和工具，通过对实验素材进行“数学化”的操作来验证数学结论、建构数学概念、探索数学规律、解决数学问题的一种数学学习方式。这体现了数学实验注重实测与创思的特点，当课堂与实验结合时，让学生学会数学思考应是数学实验的旨归，而将思维教学渗透于实验的每一个环节，图示则是最有效的切人点。在数学实验中运用图示，正是基于其能够表达实验环节之间的互动关系，构建学生走向深度思维的脚手架。下文以三种图示为例，阐释在数学实验中运用图示对学生思维深度的延展作用。

一、双气泡圖——在比较中搭建数学模型，激发思维碰撞

数学实验多是围绕一个知识点的理解而展开，因为聚焦点小，所以通过内嵌于学习过程的实验可以直指对内容的理解与问题的求解。但正如弗洛登特尔所指，旁观者确实可以将它解释为数学，因为他熟悉数学，也了解实验过程中儿童的活动是什么意思，可是儿童并不知道。这就意味着，数学实验在引导学生完整经历探索、发现规律的同时，还应当使学生也能明白这些实验的意义。而双气泡图可将图形与比较融为一体，搭建与学生思维相对应的图示，在构图、读图的过程中形成对应的表象，最终清晰地传达实验的意义。

例如，运用双气泡图可以将长方体表面涂色问题搭建在学生对正方体表面涂色的认知基础上。

根据“从简单想起”的策略，且学生已掌握正方体中涂色个数的计算方法，实验伊始，教师出示实验记录单（如表1），并提出问题：“如果不是正方体，而是长方体，不同的涂色面数的小长方体又会在哪？”学生会借助经验提出猜想：“三面涂色的还是在顶点，两面涂色的还是在棱的中间，一面涂色的肯定在面的中间，但计算方法不同。”此时，如果放手让学生利用学具进行验证，学生往往会只创造他们感兴趣的模型进行探讨，得出的结论仅仅是问题链上的一个点。其实，学生实验的意义并不是解决单一问题，而是为了探究这一类现象的本质。为了使学生通过数学实验真正实现深度学习，真正激发思维碰撞，笔者绘制了图3。

在图3的引导下，学生迅速厘清思路，不再纠结于个人的喜好，而是聚焦于长方体和正方体的共同特征“面、棱、顶点”上。很快，就有小组提出了新发现，并展示了本组的图示（如图4）。这个小组的汇报刚刚结束，立刻又有小组提出了新发现：“他们研究的是长、宽、高都超过两层（a>2，b>2，c>2）的长方体，如果长方体的长、宽、高中出现一层或是两层，这个结果就不对了，特别是一层的，里面还可能出现四、五面涂色的小长方体。因此，我们把图示的右边作了修改（如图5）。”

研究到此，学生发现当长方体的长、宽、高中的出现一层时，一面涂色的小长方体就没有了，两面涂色的小长方体也不在棱上……笔者认为这次关于“双气泡图”的尝试，充分体现了其在两个比较对象间“寻找相似与不同”的思维策略。同时也暴露出由于两个比较对象间有大量的相似与不同，因此不能简单地等同视之，还需要在具体的实验中提炼出明确的焦点问题。双气泡图在进入本次数学实验的过程中，以正方体表面涂色为基础，通过比较、迁移，让抽象、复杂的长方体表面涂色的规律形成模型，清晰、直观地呈现在学生眼前。双气泡图的运用，将两个原本就紧密相连的对象在思维的层面再次激活，促使学生从两个对象的相似与不同中受到启发。

二、流程图——在直观中确立问题引领，体验思维脉动

数学实验也可以是由若干连续实验构成的组块实验，体现在后一次的实验都是对前认知的深入，关注了对相关内容的整体认知与应用。正因为这类实验是由几个实验串联、并联构成，所以需要焦点问题的沟联。美国数学家哈尔莫斯指出，问题是数学的心脏。问题的设计对表象的思维训练及潜在的思维发展具有引领作用，教师要抓住某个最具价值的问题，引领实验步骤，通过不同表征去层层推进，而“流程图”能够结合不同的目标情境，对某一程序性过程进行恰当的步骤分解及有效归并，引导学生在亲历探究中感受思维的脉动。

例如，运用流程图可以预设分数除以整数的学习路径，再根据任务序列或者例题序列，赋予实验一定的逻辑递进关系，并在实践中一步步优化。

分数除以整数的关键是对形如“4/5÷3”算理的理解，此时须让学生明确三个意义：一是除法的意义，即平均分;二是分数的意义，即把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数用分数表示;三是分数乘法的意义，即求一个数的几分之一用乘法。在实践中，虽有三个意义保驾护航，但学生仍经常出现用被除数的倒数与除数相乘的错例。显然学生已具备抽象的概念理解，但没能落实到直观的表征运用中来。

在充分认识课本例题所蕴含价值的基础上，笔者结合原例题实验1又设计了三个实验，串联起来分别是：1÷5（整数除以整数）→4/5÷2（被除数的分子能被整除的分数除法）→1/5÷2，1/5÷3（单位分数除以整数）→4/5÷3（被除数的分子不能被整除的分数除法），将实验的焦点问题直指实验4，并绘制了图6。

没有出示图6前，学生独立探究4/5÷2的计算，会“理所应当”地提出多种不同的计算方法，使得实验的方向转为关注“算法的多元化”和“必要的优化”这两种关系的博弈，忘记了实验的目的是通过探究从而理解“除以一个不是0的整数等于乘这个数的倒数”。出示图6后，学生可以清楚地发现，前三个实验是为解决实验4而设计的，这样简单的方框和箭头就能让学生的思维从零散走向系统化。

实验1到实验4呈现组块实验的特征，在此运用流程图，不仅是对步骤间的先后顺序进行审查，还能将碎片化的知识转化为连贯性的想法，这种想法除了应用还需理解，确保各实验环节的完整性。在这个意识的驱动下，笔者引导学生在图6的基础上接着绘制。之后在组与组的图示比照中，学生能意识到应该在哪个实验环节重点表现关键因素（如图7）。

图7的出示，是学生在焦点问题的引领下，运用流程图细化了分步目标，再依据展开的问题进行递进的实验探索。本图示的生成，是学生在图6已构建出的算式模型的基础上自主建立的数量关系模型，展示了学生对数学概念思想、结构联系之间的理解。数学思维的品质最终在于抽象思维的高低，而抽象思维的水平是以表象的质量和数量情况为转移的，这次流程图的出示也印证了庄惠芬老师指出的：从学会数学地思维走向通过数学学会思维。

三、树形图——在猜想中尝试推理验证，呈现思维轨迹

由“形”的特征来勾画出“数”与“式”，在联通中发展学生的发散思维，从“点”到“网”，既而实现知识结构的生成与重组，这种思维的建构过程就如同一棵树，主题是树干，类别是树枝，类别中的各个项目是树叶，再由焦点问题联结成树，最终形成直观、有条理且不重复的树形图。树形图能够为一组实验提供多种合理的分类方式，清晰地展示分类间的相互联系，而随着思维的动态进程，最终形成涵盖实验内容的整合性图示，这将成为后续思辨时的鲜活资源，其建构过程亦可见学生的思维轨迹。

例如，运用树形图可以有效厘清“钉子板上的多边形”中，多边形面积、边上的钉子数和里面的钉子数三者之间的关系，从而助力学生在阶梯式的猜想中迅速找到探究规律的切入点。

依据教材设计，本实验分三步。第一步，探索围成的多边形里只有1枚钉子时的规律、只有2枚钉子时的规律、只有3枚、4枚钉子或更多钉子时的规律。由于预设到钉子数与多边形面积之间的关系相对复杂，故设计如图8的研究单一，帮助学生进行观察、操作、比较，从而使学生明确：当内部的钉子数为l时，多边形的面积等于边上钉子数除以2。第二步，引导学生横向观察，得到多边形的面积与边上钉子数之间的关系，再启发学生纵向思考：当边上的钉子数依次增加1枚时，面积如何变化。

这时，教师出示树形图（如图9），并结合如图10的研究单二，引导学生通过研究现有的里面钉子数为1、2、3-的多个实例，对初步得出的结论进行验证。

郑毓信教授指出：我们不应将各个数学对象看成互不相关的独立存在，恰恰相反，它们的性质完全取决于它们的相互联系。而数学本就是研究数量关系和空间形式的科学，树形图在此的运用，是将看似独立的点放置在系统中，从而使思维的轨迹可视。这个过程还可以帮助学生进行类比，找寻不同对象之间的联系，使学生发现这类对象的共同点。如图9的出示，是在“固定其他因素，只让某个量变化，从而得到问题结果”这个策略指引下进行实验的，当里面的钉子数为1或2时，学生通过画一画、数一数、算一算等思维活動验证关系式的正确与否，然后根据已有的两个关系式之间的联系，猜想当里面钉子数是2、3、4……甚至是0时，又具有什么类似的关系式。当然，这些猜想并未经过验证，同时预设的验证过程也并非一帆风顺，笔者认为在后一阶段的分工合作验证中，让学生体验到小小的坎坷也是思维发展中应该经历的。

从抽象猜想到推理验证，整个思维轨迹在树形图的驱动下逐步可视，当学生看到图9中由自己概括提炼出的相似结构关系式时，自会生成此类对象的“共通”关系式，最后笔者补充形成如图11的树形图。这个思维结构的建立过程也印证了郑毓信教授的另一段话：我们由此获得了一个既十分丰富又井然有序（或者说，具有明确数学结构）的“数学世界”。

图示的运用，为思维的延展提供了新的方式，笔者也在试着借此探寻学习的深处。基于对“数学实验的内核就是学生思维培养”的理解，笔者将通过对此的研学，努力找寻数学知识与数学体验的思维结点。

[参考文献]

[1]郑毓信，小学数学教育的理论与实践：小学数学教学180例[M].华东师范大学出版社，2017.

[2]潘小福，陈美华，小学数学实验教学的理论与实践[Ml.江苏凤凰教育出版社，2018.

[3]潘香君，庄惠芬.构图，赋予学生创造性思维生长的力量[J].江苏教育，2015（09）.

[4]赵国庆，杨宣洋，熊雅雯.论思维可视化工具教学应用的原则和着力点[J].电化教育研究，2019（09）.

（责编 李琪琦）