情景引入，过程探究，习题强化，综合提升

管培祥

[摘  要] 线面垂直是一种线面相交的特殊情形，在教学“直线与平面垂直的判定”内容时需要关注学生的知识提升和方法培养，在掌握知识核心的同时获得能力的提升，文章基于本章节的教学重点开展教学分析，提出相应的建议.

[关键词] 垂直;定理;情景;过程;习题

“直线与平面垂直的判定”是立体几何部分重要的教学内容，该章节内容是研究线面垂直、线面角、二面角、点到平面距离的基础.作为立体几何点、线、面位置关系研究的核心内容，新课改明确提出需要将“过程与方法”确立为课堂教学的重要目标，即教学中需要重视知识的探究过程，引导学生掌握相應的学习方法，下面基于上述教学目标进行教学思考.

创设问题情景，完成定义构建

课堂引入是数学教学的重要环节，在该环节中不仅需要激发学生的学习兴趣，还需要衔接教材内容来帮助学生顺利完成知识过渡，同时明确教学中心，为后续的课堂探究打下基础. 综合考虑采用情景创设、问题引导的方式最为有效.

在创设问题情景时需要注意三点：一是注意联系实际，从生活实际中提炼问题模型，利用趣味性的问题来引导学生思考;二是注意联系旧知，促进新旧知识的过渡融合，通过阶梯递进的方式来促进学生的知识提升;三是情景设计必须围绕课堂教学重点，问题设计中心明确.基于上述分析可以在教学的引入阶段设计三个环节：联系生活→情景展示→定义总结.

1. 联系生活，问题思考

教学中让学生回顾思考直线与平面存在哪几种位置关系，然后给出图1、图2所示的场景图，思考旗杆与地面、书本与桌面之间的位置关系是否相同，对应上述位置关系中的哪一种，是否可以举出生活中的其他例子. 利用生活素材引导学生思考，对直线与平面的垂直关系产生初步的认识.

2. 情景展示，感知认识

直线与平面的垂直关系十分常见，在情景创设阶段可以利用多媒体，通过播放一天中旗杆与地面影子的变化来激发学生的学习兴趣.教学中可以构建图3所示模型，引导学生从中发现直线l与地面所在平面α内经过点B的直线均是垂直关系，在此基础上思考直线l与平面内不经过点B的直线是否垂直，从而激发学生的思维，同时初步体验数学模型抽象的过程.

3. 定义总结，概念形成

通过情景教学来完成定义构建是最终的目的，因此在第三环节需要引导学生思考如何来定义直线与平面的垂直，即完成感性认识到理性认知的过渡，在该环节中不仅需要学生掌握直线与平面垂直的语言描述，还需要学习定义的符号语言. 而在完成定义总结后还可以开展拓展探究：若用“无数条直线”替换定义中的“任意一条直线”，所得的结论是否依然成立，利用定义辨析来帮助学生深化理解定义.

情景引入定义总结的教学方式更符合学生的认知思维，能够充分调动学生的知识经验来完成新知探究. 而从生活中提取教学素材、利用几何模型来直观感知可以初步培养学生的感知能力.教学过程中侧重知识的衔接联系，有助于学生形成“用数学方法研究现实问题”的经验.

开展过程探究，完成定理构建

本章节的核心内容是关于直线与平面垂直判定定理，教材中省略了定理的发现、猜想、证明的过程，但在实际教学中需要关注学生的思维活动，让学生体验定理的探究过程，因此教学时需要采用课堂探究的教学方式，即围绕定理设计探究活动，让学生充分参与其中，主动思考，通过自主探究来完成定理构建. 基于上述分析，教学中可以设置如下三个环节：问题呈现→动手探究→定理形成.

1. 类比猜想，呈现问题

线面垂直与线面平行之间有着一定的关联，可以类比线面平行判定定理进行教学，通过猜想、分析来发现定理的核心要点. 具体教学时可以采用设问引导的方式，利用递进追问来调动学生思考，可以设置如下问题：（1）如果一条直线与一个平面内的一条直线垂直，该直线是否与平面垂直？（2）如果一条直线与一个平面内的两条直线均垂直，该直线是否与平面垂直？（3）平面内的两条直线是什么关系，当一条直线与其均垂直时该直线才与平面垂直？利用上述三个具有针对性的问题，可引导学生充分辨析思考，逐步向定理靠拢，呈现判定定理的核心问题.

2. 动手探究，分析思考

在该环节中需要设计具体的探究活动，让学生通过参与实验活动来理解定理.

第一步可设计简单的折纸演示试验：准备图4所示的纸板△ABC，过其顶点A进行翻折，获得折痕AD，然后将翻折后的纸板竖直放在桌面上，思考此时折痕AD与桌面是否相垂直？若设桌面为平面α，思考如何翻折才能使折痕AD与平面α相垂直.

第二步开展动手实践活动，让学生拿出提前准备的纸板，按照图5命名顶点，过点A作BC上的垂线，垂足为点D.然后以AD为折痕进行翻折，竖立在桌面上，观察其中的垂直关系AD⊥CD，AD⊥BD是否发生了变化，思考可以得出怎样的结论？

第三步开展拓展辨析活动，给出图6所示的模型，直线l与平面α内的两条相交直线m和n均垂直，且经过两直线的交点A，可知此时直线l与平面α相垂直，思考：若直线l不经过交点A，是否可以得出同样的结论？

3. 提炼定理，总结概括

基于上述三个实践活动，学生必然对定理产生了一定的认识，在该环节就需要逐步引导学生来对其加以概括，形成数学定理. 与定义的概括相类似，既要学生用语言来准确描述，还需要能够利用符号语言来加以表示，同时需要点明上述由二维向三维转化的过程是定理生成的常用方法，其中蕴含的是降维思想.

而完成定理概括后还需要引导学生总结其中的关键词，思考是否可将这些关键词替换，学生在思考的过程中会进行充分的思维活动，逐步由定理的表层认识上升到对定理的深层理解，这样的教学方式有利于学生后续应用定理来分析问题.

采用实践活动引导探究的方式可以显著提升学生的参与度，学生经历活动探索来提炼定理有助于学生对定理的直观理解. 而在该过程中学生体验了折纸试验、模型构建以及定理归纳，其中涉及众多的思想方法，例如模型思想、化归思想等，这些数学思想对于学生的长远发展是极为有力的.

定理应用深化，变式题组设计

学习定理的意义是为了解决问题，培养空间思维. 教学中完成定理概括后可以借助具体的问题来帮助学生深化理解，感悟定理的应用. 同时设计适度的变式问题来拓展学生的思维，提升思维的多样性.

在定理應用的初始阶段可以借助教材习题，通过习题的讲解来帮助学生形成正确的解题策略，如给出如下问题：已知a∥b，a⊥α，试求证b⊥α. 该习题的教学需要分三步进行：第一步——语言概括，模型构建，即理解题目的符号语言，利用通俗语言再现问题，绘制相应的图形，如图7所示;第二步——提炼条件，形成思路，即从问题中提炼出其中的条件特征，如直线a与b相平行，直线a垂直于平面α，然后结合线面垂直定理来逐步推理，形成具体的解题思路：a⊥α？圯a⊥ma⊥n■b⊥mb⊥n ？圯b⊥α;第三步——过程概述，问题证明，即根据上述分析思路来书写证明过程，需注意引导学生准确使用符号语言来表述几何关系.

完成习题讲解后可以进一步设计变式题组，可以结合“一题多变”“一题多用”等方式来达成应用强化的教学目的，而在变式教学中需注意题目设计需围绕“直线与平面垂直的判定”内容，如利用下述问题开展变式.

问题：如图8所示，V-ABC为三棱锥，已知VA=VC，AB=BC，点K是AC的中点，试求证AC⊥平面VKB.

变式思路1：条件不变，问题变——试求证VB⊥AC. 原问题是求证线面垂直，求证时必然需要求证直线AC与平面内两条相交线均垂直，而变式问题就是其中的分问题.

变式思路2：添加条件，深入分析——设AB和BC的中点分别为点E和点F，试判断EF与平面VKB的位置关系. 该变式是在原问题基础上的条件添加，需要利用原题结论来进行推理，可以提升学生利用定理解决问题的灵活性.

变式思路3：在变式2的条件下，分析能否说由于VB⊥AC，VB⊥EF，故VB⊥平面ABC. 该变式有利于学生辨析线面垂直的判定定理，深入体会定理中“相交”二字的核心意义.

三个变式环环相扣，围绕教材定理开展核心探讨，既有助于帮助学生强化定理，感知联系，又利于引导学生进行知识整合. 同时变式过程也是对学生思维的引导过程，学生的思维得到了极大的锻炼，为后续解题能力的提升打下基础.

总之，高中立体几何部分的核心内容，在教学“直线与平面垂直的判定”时需要教师充分考虑学情，将学生已有知识经验、生活经验作为课堂引入的落脚点;把握定理定义的核心内容，采用过程探究的方式来设计教学环节;以知识应用为最终目标，利用习题讲解来强化学生对知识的理解，帮助学生系统思考，创新思维.