一个夏令营问题的别证与推广

宋志敏 尹 枥

山东省滨州学院理学院 (256603)山东省滨州市北镇中学 (256600)

在文[1]中，陈世明老师以敏锐的观察力归纳得到了sinnθ的一个优美的恒等式：

随后利用欧拉公式严格证明了上述等式.此公式简洁、优美，可以作为正弦函数n倍角公式的一个有益的补充.关于三角函数倍角公式的应用读者也可以参看文[2].本文中，作者利用这个公式给出了中国科技大学2013年夏令营第7题的一个新证明，并且给出了gamma函数组合的一个新的恒等式.

注：命题1是中国科技大学2013年夏令营数学试题的第7题.原证明利用了复数以及n次方根的知识，证明复杂而且难懂，本证明更简洁明了.

证明：利用余元公式得：

对这n-1个等式做乘积，则有

注：利用sinnθ的统一公式，我们给出了gamma函数的一个新的优美等式.利用命题2，我们也容易得到下面的推论：对于n∈N*，有