把握数学本质 丰富教学内容 提升课堂品位——《类比推理》课堂教学与感悟

赵 勤 郑宝生

江苏省无锡市立人高级中学 (214161)

我区名师工作室、希望之星班联合活动在我校进行，其中两位教师上了同一个内容的课《类比推理》，所选用教材是苏教版普通高中数学选修2-2．本节课有相似情景引入，相似的典型例题，相似的课堂结构，看似相差无几，实则相距甚远，到底是什么原因导致有这样大的反差？以下是本人对这两节课的对比和思考．

一、教学摘录

1．概念形成环节

教师甲的教学摘录：展示“鲁班造锯”的故事，然后让学生回忆等式性质和不等式性质的类比．教师归纳说明这些就是类比推理，并给出类比推理的概念，说明类比推理的特征，类比推理的方法步骤：观察比较——联想类推——猜测新的结论．接下来教师列举了一些生活中的例子：萤火虫——日光灯，蝙蝠——雷达，鱼——潜水艇；数学中的例子：加法类比乘法，减法类比除法、乘法类比乘方、等差数列类比等比数列，让学生感受这些知识之间的关系．

教师乙的教学摘录：(1)回顾归纳推理的概念及特征．(2)首先教师绘声绘色的讲述鲁班造锯的故事，让学生体会“鲁班造锯”的思路和方法，感悟这种推理方法和归纳推理的不同之处．其次利用科学家根据地球上有生命，猜想火星上有生命，为什么？教师让学生思考科学家推理的依据，进一步感悟类比推理的特征，引导学生尝试说出类比推理的特点，然后补充完善形成概念．接下来提出两个问题，问题一：请同学们举出几个类比推理的例子．在教师的引导下，师生共同举出例子：鱼沉浮——潜水艇，章鱼——烟雾弹，苍耳属植物——尼龙搭扣，苍蝇的翅膀——平衡仪等．问题二：谈谈你对类比推理的感受？然后引出名人名言，波利亚感叹：类比是伟大的引路人，求解立体几何往往有赖于平面几何中的类比问题；拉普拉斯说：即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比；开普勒说：我珍视类比胜于任何的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的．

2．数学运用环节

教师甲的教学过程摘录：(1)例1试将平面中的圆与空间中的球类比：圆的直径——球大圆，圆的弦——球的截面圆，圆的周长——球表面积，并指出“与圆心距离相等的弦相等”，“圆的切线垂直于经过切点的半径”，“圆的方程”等类比球中的命题．(2)巩固练习：①矩形的相邻两边长和对角线的关系类比长方体相邻三条棱和体对角线的关系，②若干杯甜度相同的糖水倒在一起甜度不变，类比一个等式，③在一杯糖水中加入糖变甜，类比一个不等式；④在平面中若两个正三角形的边长比是1：2，则面它们的积比是1：4，类比到空间两个正四面体的边长比是1：2，体积比是什么？⑤在平面几何里，直角三角形三边符合勾股定理，类比到空间的三棱锥，你可以得到哪些性质？(3)课堂小结：类比推理的方法，步骤．

教师乙的教学过程摘录：(1)(波利亚的类比)加法的运算性质类比乘法的运算性质：交换律、结合律等，加法中a+(-a)=0，类比到乘法类似性质是什么？加法中a+0=a，类比到乘法是什么性质？为什么这样类比？(2)试将平面中的圆与空间中的球类比：先从圆和球的相关概念类比：圆的直径——球大圆，圆的弦——球的截面圆，圆的周长——球表面积，然后让学生思考“与圆心距离相等的弦相等”，“圆的切线垂直于经过切点的半径”等类比球中的命题分别是什么？“圆的方程”类比球的方程是什么？(3)正三角形中内切圆的半径是高的三分之一，类比到空间中正四面体的内切球的半径与高的关系是什么？学生回答：四分之一，三分之一、八分之一......，此时教师引导学生类比内切圆半径的求法，求出正四面体的内切球的半径.一方面让学生意识到类比推理不一定正确，另一方面又把类比推理的思想方法上升到一个更高层次——思想方法的类比．(4)课堂小结：类比推理的策略方法，类比推理和归纳推理的区别和联系．

从课堂情况来看，教师甲的课堂平淡枯燥，学生不感兴趣，而教师乙的课堂生动丰润，学生兴趣盎然，教学效果差别很大．那么问题的症结在哪里呢？

二、几点感悟

1．理解数学知识的本质，把握学生的思维起点，调动学生的学习积极性

在评课时，教师甲说：这节课的内容实际上在前面学习中经常遇到，重点就是对以前遇到过的类比推理进行归纳和总结．教师乙说：我认为这节课要解决的重点是类比的原理、方法和类比的价值和意义．

从两位教师课堂教学和发言我们注意到，正是两位教师对教材、学生和课堂教学的不同理解决定了教学效果．首先是对教材的理解，教材中鲁班是通过齿形草能割破行人的腿，推理出“锯子”能“锯”开木材，其本意是把人腿比做木材，把齿形草比做锯子，齿形草与锯子的功能是一样的，则其形状也应该一样的；同样把等号比做不等号，则它们的性质也可以做类似的比较．然而教师甲是按照教材照本宣科进行的，没有体现教材的真实意图，凸显人腿比做木材，齿形草比做锯子，等号比做不等号，也没有把这两个例子进行归纳和抽象，找到其共同的属性．其次是对学生的理解，按照教师甲的说法，这节课的内容是学生们熟悉的，站在类比推理的角度来看，学生们所熟悉的对他们来说恰恰是未知的，所以我们要引导学生从推理的角度深入思考问题．最后是对课堂教学的理解，我们尊重教材，但不能照本宣科，要考虑到数学知识的关键点与学生的兴趣点最大程度的融合，就像教师乙一样，从对生命的关注，到对仿生学的思考，再上升到名人名言的教诲，这些对学生来说既有兴趣又能体现类比推理的本质属性，才能更好地调动学生的学习积极性，让更多的学生参与课堂教学，使学生从被动地接受转变为主动地探求，真正实现学生在课堂教学中的主体地位．

2．在认知冲突中体现知识产生的必要性，利用数学文化的力量，激发学生的学习兴趣

数学学科核心素养本质上反映的是数学的思维品质，启发学生思考是数学教学的核心.对比两位教师的课堂教学，在概念形成环节，尽管都用了鲁班造锯的故事，但是教师甲只是把例子展示出来，没有让学生去思考齿形草和锯子形状的相似推理他们功能的相似，缺少事例的支撑和问题的思考，形成数学概念变成了可望而不可及的事情，教师只能自己告知学生这就是类比推理．后面的例子，没有让学生思考“萤火虫——日光灯，蝙蝠——雷达，鱼——潜水艇”这些问题类比的依据是什么，“加法类比乘法，减法类比除法、乘法类比乘方、等差数列类比等比数列”，为什么这些对象之间可以类比，而仅仅是让学生了解和感受.教师乙首先让学生回顾归纳推理，然后以讲故事的形式呈现“鲁班造锯”的过程，当学生发现它不再是归纳推理时，就产生了认知冲突，问题驱动思考，教师引导学生去发现这种推理的特征，抓住齿形草和锯子形状的相似，推理出功能的相似，再通过“火星和地球的类比”涉及到天文地理等科学知识，调动了学生兴趣，引发学生进一步思考这种推理的特征．因此类比推理的概念形成也就呼之欲出、水到渠成．后面探讨的类比推理的例子始终让学生思考两个(或两类)对象有何相似？为什么可以类比？从哪些方面进行类比？让学生在问题中思考感悟类比推理的本质特征．仿生学的例子增强了学生对类比推理的认识，体现了学习类比推理的必要性，名人名言展示了类比推理的功能和数学文化的魅力．

3．挖掘概念的内涵和外延，丰富教学内容，提升课堂品味

在类比推理的概念形成之后，教师甲照搬课本给出类比推理的方法步骤：观察比较——联想类推——猜测新的结论．后面数学运用环节，虽然从数学上和生活上两方面举出例子让学生思考，但是因为在概念形成环节，没有让学生经历从特殊到一般，从现象到本质的抽象过程.在圆和球的类比中，也没有深入思考这两个事物从形式到本质的相似和联系，缺少了对数学概念的准确理解和把握，学生的猜测就没有了方向．教师乙深入地剖析了概念的内涵和外延，挖掘教材内容背后所隐藏的鲜活的数学思想，在圆和球的的类比过程中，首先问学生“为何把圆和球类比？”，当学生回答“他们长得像”后，教师引导学生从形状相似到圆和球的概念的相似及不同，从而让学生感受到两类对象本质上的联系与区别，让学生体会到这是从二维到三维的类比，从两类对象相关概念的类比再深入到性质的类比，在此基础上把平面直角坐标系类比到空间直角坐标系，引导学生从形式上和概念上思考由圆的方程类比球的方程.接下来的问题：正三角形中内切圆的半径是高的三分之一，类比到空间中正四面体的内切球的半径与高的关系是什么？当学生仅仅从形式上和概念上类比推理出现多个不同答案时，到底哪一个正确？学生产生了困惑，这样一方面让学生意识到类比推理的结论不一定正确，另一方面又自然把类比推理上升到更高的层次——思想方法的类比.至此，解决类比问题的思想方法脉络清晰的呈现出来．从一维直线到二维平面，再到三维空间，通过类比可以发现许多命题．数学概念是数学知识的凝练，体现了数学的本质，数学抽象可以把数学问题符号化和形式化，而概念类比和形式类比可以让我们获得更多的结论；数学思想方法的类比能帮助我们解决更多的问题．类比推理的细化丰富了数学课堂教学内容，提升了课堂教学的品位．