从概率论到随机过程的衔接教学

摘 要：随机过程这门课程具有理论性强且较难入门的特点，结合教学实践探讨了从概率论到随机过程的衔接教学，从而让学生平稳过渡到随机过程的学习。

关键词：随机过程;特征函数;独立性

一、 与随机变量对比联系

概率论是随机过程的先修课程，主要研究随机现象在完全相同的条件下重复出现时所表现出来的某种规律性，我们称这种规律性为统计规律性。概率论的基础理论是重点围绕着建立在概率空间上的随机变量而展开。随机变量是指从样本空间Ω到取值空间Rn的一个可测函数，用以描述静态的随机试验的结果。给出随机变量的定义及其分布函数之后，可用于描述随机现象的统计学规律。由于概率论的研究范围限于一个或有限个随机变量，即一维随机变量和多维随机向量，那么就不足以刻画现实中随机现象的动态统计规律，所以产生了随机过程成为弥补这个空白的一门应用数学分支。

随机过程研究随机现象变化过程的概率规律性，观测的是一族随着时间推移而变化的随机变量，这些随机变量的个数可以是无穷多个。一个随机过程{X（w，t）}是关于样本点w和参数t的二元函数，其中t一般取为时间。当t固定时，它是取值于状态空间的随机变量。当w固定时，它是取值于状态空间的一个关于t的函数。随机变量描述方法包括：数字特征、特征函数以及累积分布函数由连续型对应概率密度函数和离散型通过分布律来描述。而随机过程描述的方法有三种，有限维分布函数族、数字特征和有限维特征函数族，是对随机变量描述的一个扩展。

另一方面，概率论与随机过程对一些概念内涵的本质又是相通的，对应着均值、方差、協方差、相关系数，有均值函数、方差函数、协方差函数、自相关函数，它们在定义方式和运算性质上都是一致的。在讲解这些知识点时，让学生把已经熟知的概念嫁接迁移过来，进行一定的归纳类推，从而做到融会贯通、灵活掌握。教师可以启发提示学生，理清之间的联系，又能分辨二者的区别。

二、 强化特征函数的运用

在一些情况下，想了解随机变量的分布并不是轻而易举的事情，这时候如果能借助特征函数可使过程得到简化。当特征函数存在时，它唯一地确定分布，因此可用来描述随机变量的概率分布。通过引入复值随机变量的特征函数具有很多优良性质，帮助我们从新的角度突破思路，更加方便地解决问题。

特征函数的妙用很多。例如，利用特征函数的线性变换作用，可以很快从标准正态分布的特征函数得到一般正态分布的特征函数，省去了烦琐的推导。利用如下性质，即n个相互独立的随机变量之和的特征函数等于各自特征函数之积，可以迅速得到随机变量之和所服从的分布。如若不然，记n个独立同分布随机变量的分布为F，要计算这n个随机变量之和的分布函数，则需要计算F的n重卷积，这是非常困难的。然而由这个性质能轻松得到很多有益结论，二项分布关于参数n具有可加性，Poisson分布、正态分布具有可加性，Γ分布关于参数α有可加性，Pascal分布关于参数r也有可加性，以及对服从几何分布的随机变量求和的结果将服从Pascal分布等等，这里可以让学生作为练习来证明，体会特征函数的运用技巧。特征函数还能直接得到各阶原点矩，让求期望、方差变的直接高效。否则，对于服从几何这种离散型变量，要求其期望和方差需要用到逐项求导公式来得到幂级数的和函数，对于服从指数分布的这种连续型变量，要得到其期望和方差需要用分部积分公式来求反常积分，无论如何这些都比通过特征函数来计算要复杂得多。利用特征函数求随机变量的k阶矩只需要计算特征函数的k阶导在0处的取值，再除以虚数单位的k次方即可直接得到。教师在授课中，应重点介绍特征函数的性质，让学生做到能够理解掌握，并熟练应用。

三、 加深对独立性的巩固

对一个随机过程截取任意n个时间点，如果得到的n个随机变量它们彼此独立，就称是独立随机过程。在讲到独立增量过程这一章节时，就需要学生理解相互独立的含义。而是否清楚独立增量过程这一概念，直接影响到学生后续对于Poisson过程定义的掌握，所以说对于随机变量独立性的讲解是十分有必要的。

在此之前，不妨先回顾一下，在概率论中n个事件相互独立需要满足2n-n-1个条件的描述，再补充n个事件相互独立的充要条件。同时，还要让学生认识到n个随机事件相互独立与n个事件两两独立之间的不同，即n个事件独立可推出任意两个都独立，反之未必成立。在这之后，下面就可介绍n个随机变量相互独立的概念了，这时包含无穷多种情况。只有教师做好过渡和铺垫，这样学生理解起来才更容易接受。自然地，学生也就可以对n个随机变量独立的充要条件印象深刻，这个充要条件是n个随机变量的联合分布函数是可以拆分的，可分解为边际分布函数的乘积。并且，这个充要条件对随机变量的连续函数同样适用。教师应该把基本概念讲解透彻，为学生铺平随机过程学习的道路。

四、 与实际案例结合

教师在授课中可以对相似的案例进行总结罗列，让学生讨论概率论与随机过程的区别所在。就拿同样是有关下雨的问题来举例，在概率论中，关注的通常是同一时刻的不同样本点。有诸如下面的例子，已知一年中A、B两城下雨及同时下雨的概率，问已知A城下雨，此时B城下雨的概率，那么这是一个求条件概率的问题。而在随机过程中，往往关注的是同一样本点在不同时间所对应的状态，题目如已知是某城今日无雨明日也无雨的概率，以及今日有雨次日不下雨的概率，问周二不下雨，周四下雨的概率，那么如果把第n天的降雨情况看作一个Markov链，此题目可通过求两步转移概率得到解决。从上面两个例子，可以直观地看出，概率论是静态的研究，随机过程是动态的研究。将这种实际的案例与授课结合，不仅可以让学生对于相关知识点加深理解，同时也能引起其兴趣。当然，这种有趣的例子还有许多，如随机游动、Poisson过程中的排队系统等，多穿插一些生活中常见的实例，可帮学生对课程内容进行巩固提升。

参考文献：

[1]张波，商豪.应用随机过程[M].4版.北京：中国人民大学出版社，2016.

[2]何书元.随机过程[M].北京：北京大学出版社，2008.

[3]奚宏生.随机过程引论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

作者简介：

余菲，重庆市，重庆第二师范学院。