分析捕食者和食饵均带有扩散的随机捕食-食饵模型动力学

新疆建设职业技术学院 雷 洁

在生物种群中广泛存在捕食-食饵关系，受到人类活动的影响，斑块化正在影响生物种群的生存和捕食。同时，生物种群中含有多个斑块，并且各个斑块种群并非独立，为了捕食，很多捕食者会扩散到其他斑块中，而食饵为了躲避捕食者同样会扩散到其他斑块中，这就造成了捕食者和食饵的随机性。而捕食者-食饵模型动力学可以充分反映扩散随机捕食-食饵行动规律。

一、捕食-食饵模型定理

通过微分方程耦合系统正平衡点全局稳定性，结合图论理论，得出了基于网络大量耦合系统的全局渐进稳定的Lyapunov 定理，在文献当中，将图论、网络方法应用在n个斑块捕食-食饵系统平衡点稳定性分析中，将扩散随机捕食-食饵模型设定为：

公式中，Xi、Yi表示食饵和捕食者种群在第i个斑块上的密度；b，c，r，k代表非负常数；e，q表示正常数；d表示食饵从斑块到斑块i的扩散率；a根据边界条件选出。

在Lyapunov 定理当中，不仅食饵可以扩散，捕食者同样可以扩散，并且模型参数带有随机性。在生物学上，将捕食-食饵模型定义为：在自然条件变动以及人类活动影响下产生的斑块环境，捕食者扩散到其他斑块中捕食食饵，食饵也可以扩散到其他斑块。

二、食饵非常数捕获的捕食-食饵模型动力学分析

在现实生活当中，人们所依赖的生活、发展的根本就是生物资源。为了提高生物资源利用率，同时不造成资源浪费、枯竭，必须要对其进行适度开发和管理，因此，要重点考虑捕食-食饵种群收获率模型。结合非常数模型：

该模型对扩散随机捕食-食饵模型在稳定性、极限环下的存在、不存在、极限环存在唯一性进行了分析。很多收获模型中都是采用常数模式，即使对捕食-食饵模型考虑较为周全，但是还会受到周围条件的影响，如食饵发展状况、人类需求等。因此，采用常数型收获不合理，这就需要对常数收获进行改善，将食饵常数收获更改为非常数收获，公式为：

公式中，x表示食饵种群密度（斑块密度）；y表示捕食者种群密度（斑块密度）；a表示食饵在斑块中生长率；d表示捕食种群在斑块中的死亡率；h＜a且h表示食饵种群的收获效率。其中，收获效率主要受到多种因素影响，包括收获时间、收获设备、收获技术等。

在此系统当中，可以得出系统所在参数下平衡点动力性态图，显示系统所在参数平垫点的四个象限。在利用系统模型取代参数条件下，正平衡点为中心点。同时，在系统所取参数中，在理想条件下，正平衡点为稳定点。由此可知，捕食者种群、食饵种群在稳定的平衡点上，二者都不会灭亡。

三、食饵具有密度制约且扩散随机功能性反应的捕食-食饵模型

种群动力系统的捕食-食饵系统可以采用以下公式表示：

公式中，e＞0 为捕食者死亡率；x表示t阶段食饵密度；y表示t时刻捕食者密度；k为正数，表示转化率；g（x）表示食饵种群相对增长率；p（x）表示捕食者功能反应函数。文献[1]中对g（x）取为线形或非线性函数，如果是功能反应函数为具体形式时，即可得到系统全局稳定性、极限存在唯一性结果。通过对上述模型优化，将食饵种群密度制约模型用以下公式表示：

在条件生态意义方面可解释为：捕食-食饵模型当中，即使没有捕食者对食饵的影响，食饵种群内部也会有竞争关系，其自然增长率也会随着竞争关系的增加而减少，从正值变为负值。从捕食者和食饵种群数量关系方面分析，二者成波动关系，某些阶段，捕食者密度小于食饵，随着时间增加，捕食者种群密度与食饵密度相等，之后二者逐渐趋于稳定，在保证其他条件不发生变化的基础上，会一致保持捕食者、食饵的种群平衡。

通过分析可知，在线性捕食率增加并逐渐趋于稳定之后，食饵种群数量会增加，而捕食者种群数量会逐渐趋于0，符合生态学规律。在一定条件下，捕食者、食饵两个种群的数量会产生周期变化，也就是系统存在周期解，在考虑系统没有人为捕获的状态下，整体上两个种群数量是为周期性变化，但相比模型建立之初，捕食者群众数量较大，表明在明确人为因素干扰情况下，捕食者的捕食率较高，从而增加了自身的种群量。而通过改变捕食者和食饵线性收获率，可以发现在不同线性收获率条件下，捕食者-食饵在趋于稳定时，种群数量变化非常大，说明人为因素会严重影响种群数量。当食饵种群灭绝或非平均持久时，捕食者种群也会灭绝，而食饵灭绝时，捕食者种群也会随之灭绝，其中，模型中验证了环境噪声会导致种群灭绝。所以在现实生活中，我们要尽可能降低环境噪声对生物种群的负面影响，让捕食者、食饵之间长期稳定共存，最终将二者都稳定在各自的平衡位置。

综上所述，通过对捕食者-食饵模型探讨之后，可以得出一个规律：捕食者-食饵之间是此消彼长、相互制约、相互依赖的关系，也就是在捕食者能力不够强大时（捕食者能力较弱时），食饵种群在此环境下会变得更加强大，其密度也会达到一个最大容纳值。加入捕食者的收获率较高（捕食能力较强），且外部环境存在一定限制条件时，捕食者-食饵之间会处于一个相对稳定的状态，也就是两个种群密度在某个稳定参数上稳定下来，捕食者、食饵种群不会消失。而一旦捕食者的捕食能力超出了稳定阈值，此时捕食者-食饵种群密度会围绕唯一正平衡位置周围产生周期振荡，不利于捕食者-食饵种群的稳定性。

此外，随着计算机技术不断发展，近些年各个机构也陆续提出了为生态模型提供数值服务的模型软件，如maple、mathematica 等。可以借助这些新型软件设计各类生态模型运行程序，可以更加直观地得出模型相位图，这样既有助于理论分析，也可以直观呈现出生态规律。