浅谈数学归纳法在中学数学中的应用

◎李英爽 郭 微 （北华大学数学统计学院，吉林 吉林 132013）

数学归纳法表面看着很简单，形式固定，但是很多学生难以理解其本质.有的同学在使用数学归纳法时完全靠生硬的记忆，不能掌握其真正的思想.那么，应该怎样理解数学归纳法的主要思想，解决问题时数学归纳法分哪几步，在中学数学中它都有哪些应用？ 本文就是在理解数学归纳法的概念，了解数学归纳法解题步骤的基础上，论述数学归纳法在中学数学中的主要应用，帮助学生使用数学归纳法证明一些复杂的命题.

一、数学归纳法的概念

数学归纳法是一种数学证明方法，主要用于证明某个命题在自然数范围内成立.在自然数之外的一些数学定理的证明也可以使用数学归纳法.数学归纳法在中学数学中是一种比较严谨的推理方法，主要用来解决与整数相关的数学问题，如证明一些等式和公式成立.

二、数学归纳法的步骤

数学归纳法在应用时分两步进行：

第一步，证明命题在常数的情况下成立.从数学的角度看，命题在常数的情况下成立，那么命题在特殊的情况下也成立，这是证明命题成立的基础，是最基本的步骤，在实际解决问题中，通常用“1”作为证明命题的起点.

第二步，证明命题在任意常数下都成立.在实际解决问题中，我们通常采用未知数k来代表一般情况.在n＝k的情况下命题成立，然后推导出n＝k＋1 的时候命题也成立.这是证明命题成立关键的一步，同时它也代表着所要证明的结论具有普遍性.在归纳分析的时候，要将特殊的情况推广到一般的情况才能证明命题的正确.

总的来说，数学归纳法的基本思路就是通过归纳总结来证明命题的成立.数学归纳法的第一步是很容易进行验证的，就是证明命题在特殊情况下成立.但归纳法的第二步是有点难度的，也是最核心的步骤.利用数学归纳法证明命题时，只有在这两步同时成立的情况下，才能证明命题正确.下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中比较常见的应用，加深学生对数学归纳法的理解.

三、数学归纳法的应用

数学归纳法可以解决很多类型的问题.下面主要介绍数学归纳法在恒等式和不等式证明中的应用，以及在数列、几何问题、整除性问题中的应用.

（一）数学归纳法在恒等式证明中的应用

利用数学归纳法进行恒等式证明时，整个过程只需做到等式两侧的数值相等.

例 1证明：n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝ （2n－1）2（n∈N∗）.

证明当n＝ 1 时，左边 ＝ 1 ＝ （2×1－1）2＝ 右边，等式成立.

假设当n＝k时，等式同样成立，即

则当n＝k＋1 时，有

也就是说，当n＝k＋1 时等式成立，所以等式对于任意一个正整数n都满足.

（二）数学归纳法在不等式证明中的应用

应用数学归纳法解决不等式的证明问题时，可以对不等式两边的形式观察分析，特别是不等式左边的形式，然后再找出当n＝k和n＝k＋1 时左式的差异，弄清这些是解决这类问题的关键.

例2证明

证明当n＝1 时，不等式显然成立.

假设当n＝k(k≥1，k∈N∗)时，不等式同样成立，即

则当n＝k＋1 时，

即n＝k＋1 时，不等式成立.

所以不等式对于任意一个正整数n都成立.

（三）数学归纳法在数列中的应用

有时应用数学归纳法解决数列的有关问题时，相对于其他方法思路可能要更通畅一些.

例 3设数列｛an｝的前n项和为Sn.已知求：（1）a2的值；（2）数列｛an｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（3）求数列｛an｝的前n项和Sn.

解（1）将n＝1 代入得a2＝4.

下面用数学归纳法进行证明：

1）当n＝1 时，a1＝12＝1，命题成立.

2）假设当n＝k（k∈N∗）时命题成立，即ak＝k2成立，则当n＝k＋1 时，有

即当n＝k＋1 时命题也成立.

综上可知，an＝n2对于任何n∈N∗都成立.

（3）由（2）知an＝n2（n∈N∗），则an＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1，

（四）数学归纳法在几何问题中的应用

数学归纳法不仅适用于平面的几何问题，也适用于部分立体几何问题.下面举例说明数学归纳法在几何问题中的应用.

例4设多个圆心在同一条直线且两两相交的半圆，试求：这些半圆的交点最多将半圆分割成多少个圆弧？

解设半圆个数为n，最多分割圆弧的个数为函数f（n），如图 1 所示，可知当n＝2 时，f（n）＝f（2）＝ 4＝22.

当n＝3 时，为了让三个半圆相交得到的圆弧最多，就应该让第三个半圆和前两个半圆都相交，如图2 所示，可得f（3）＝ 9＝32.同理可知，当n＝ 4 时，f（4）＝ 16 ＝ 42.因此猜想有n个半圆时，最多可以将半圆分割成f（n）＝n2个圆弧.

图1

图2

用数学归纳法进行证明：当n＝2 时命题成立.假设当n＝k时命题成立，即f（k）＝k2.也就是说，当直线一边有k个两两相交的半圆时，最多可以分割成k2个圆弧.

当n＝k＋1 时，求第k＋1 个半圆与之前的k个半圆都相交时可以得到最多的圆弧.

此时，原来前k的半圆都被第k＋1 个半圆割出了一条新圆弧，有k条圆弧，第k＋1 个半圆都被原来所有的半圆分割成了k＋1 个圆弧，因此f（k＋1）＝k2＋k＋k＋1 ＝（k＋1）2，故当n＝k＋1 时命题成立.即当有n个半圆时，可以将半圆最多分成f（n）＝n2个圆弧.

（五）数学归纳法在整除性问题中的应用

利用数学归纳法解决整除性问题，首先需要知道一些整除性方面的知识，即如果a能被c整除，那么a的倍数na也能被c整除；如果a，b都能被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除.

例 5证明：f（n）＝ （3n＋1）·7n－1（n∈N∗）能被 9 整除.

证明当n＝1 时，f（1）＝ （3＋1）·7－1 ＝27，27 显然能被9 整除，故命题成立.

假设当n＝k时，原命题成立，即f（k）＝ （3k＋1）·7k－1能被9 整除，则

故f（k＋1）＝f（k）＋9·（2k＋3）·7k能被 9 整除.

综上可知，对于一切n∈N∗原命题都恒成立.

结束语

数学归纳法是中学数学中比较重要的学习内容，是证明命题成立的重要方法之一，它的核心就是递推思想，它可以很好地弥补不完全归纳法的不足，在多个教学环节得到了广泛应用.