如何破解高中数学三角函数最值问题

翁贻声

摘 要：三角函数最值问题是高中数学教学的重难点。由于三角函数最值问题的求解难度比较大，所以很多学生在遇到这类题目时经常会无从下手。无刺激，在数学教学中教师要详细讲解这类题目的解题思路、方法，并教会学生如何寻找突破解题难题，高效率解题。文章就此展开了论述，简单阐述了如何应用换元法、配方法、数形结合法等突破三角函数最值问题，提高学生解题效率。

关键词：高中数学;三角函数;最值问题

就目前来看，三角函数最值问题的求解教学现状并不乐观。大部分学生仍是倾向于单一的解题思路、方法，解题效率非常低下。因此，为了改变这一现状，提升学生的解题效率，高中数学教师应创新三角函数最值问题教学，从而使学生掌握更多的解题方法。

一、换元法解题

换元法是一种比较常见的解题方法。具体来说，是引入特定的变量取代其中的已知变量、代数式，然后再进行简化、求解。但通常情况下，多是替换掉其中比较复杂的变量、代数式，从而降低三角函数的解题难度。在讲解换元法的应用时，教师还应让学生多注意三角函数的定义域、取值范围，以免造成疏漏，影响到最终的计算结果。

例如这样一道题目：求函数的最值。在看到这道题目时，不难发现若要求解该函数的最值，主要就是进行函数变形，以便能够利用三角函数有界性进行计算、求值。在具体求解过程中就可应用换元法，其解题思路是将原始化简为，也就是。这时令，，然后就可以进行化简，并求解最终的计算结果。从中能够看出，换元法的最大优点就是可以清晰地展示出函数取值范围，并简化题目计算难度。但是教师在教学中，应重点讲解如何选择换元部分，迅速找到解题突破口。

二、配方法解题

从三角函数最值求解问题来看，配方法的应用也非常广泛。具体来说，配方法是指增加合适的单项式，将原来的三角函数进行转化，而后找到取值的限定条件，并最终求解出其最值。一般情况下，采用配方法多是将无规则的多项式变成有规律的多项式。如将其转化为正余弦公式、二倍角公式展開式等。其中最关键的步骤就是合理选择配方所需的单项式。

例如这样一道题目：求的最值。的形式类似于平方公式所以，在求解过程中可尝试配方将其转换成为标准的平方公式。即，然后就能得到。而sinx的取值范围已经确定，再进行简单计算就能得出函数的最值。一定要注意，学生在求解最值时还应密切关注对称轴与已知定义域之间的关系。如果对称轴在已知定义域之内，则对称点对应的值应为最大或最小值，而后再判断已知定义域的两个点与对称点横坐标的距离，准确划分其最大或最小值。如果对称轴不在已知定义域内，则需要先判定已知定义域是在函数上升区域内，还是在下降区域内。而后再计算最值。总的来说，换元法也是一种非常有效的三角函数最值求解方法。

三、数形结合法

对于一些比较复杂的三角函数来说，传统的最值求解方法并不适用。而利用数形结合法进行分析、判断，就能直观地得到最终的结果。但在应用这种方法之前，学生要理清题目给出的已知条件之间的关系，而后准确画图、分析。教师在教学中应重点讲授其应用过程，以便学生能够充分了解到如何准确画图、分析以及哪些三角函数题目适合这种方法。

例如这样一道题目：求函数的值域。通常情况下，大部分学生只知道sinx的取值范围，但是再次叠加后，学生就无法判断最终的函数值域。最重要的是学生不能采用常规的计算方法，进行化简、求解。对此，也只有采用数形结合方法判断函数值域。首先，先假设t=sinx，那么t的取值范围就是[-1，1]。这时在了解t的取值范围后，我们再画图观察这个范围内的余弦函数图像变化情况。如图1所示，余弦函数是以x=0为对称轴的，cost在-1，1处的函数值是相同的，且均为最小值。而其最大值为x=0对应的余弦函数值。也就是说所求函数的值域范围为。从中能够看出在应用数形结合方法判断三角函数最值时，也应当充分考虑函数的对称轴问题，以免影响到最终的最值计算结果。

四、其它解题方法

除却上述三种方法外，还可采用化一法、不等式法、判别式法。其中化一法是指使用降幂公式、倍角公式、三角函数和差公式等，进行原三角函数的降幂化简，从而降低解题难度。但是若要应用这种方法，学生必须要熟练掌握这些公式，并能准确计算。不等式法是指将三角函数化简成为不等式形式，然后依据已知条件，判断三角函数的最值。判别式法是指进行三角函数的整理，而后依据实根条件进行三角函数最值的判定。这种方法比较适合分式函数、无理三角函数的求解。

综上所述，求解三角函数最值问题的关键是要依据给出的条件，准确选择解题方法。这样不仅能缩短解题时间，而且还能降低解题难度，简化运算。所以，在三角函数最值问题的讲解中，教师应将教学重点放在如何灵活应用方法突破三角函数最值问题之上，从而使学生熟练掌握各种解题方法。

参考文献

[1]李济泽.浅析高中数学函数最值的问题求解方法[J].农家参谋，2017（19）：180.

[2]沈依铭.高中数学函数最值问题求解方法[J].科学大众（科学教育），2017（02）：12.

[3]辛星.高中数学学习中函数最值的问题求解方法分析[J].科技风，2017（03）：266.