一般散度型性线性椭圆方程解的存在性证明方法

王蕊 曲莉

摘 要：对于一类一般散度型线性椭圆方程解的存在性问题的研究，本文通过利用泛函分析和算子理论的一些知识，给出了两种证明方法.这两种方法包括：Riesz表示定理和Lax-Milgram定理.

关键词：线性椭圆方程;解的存在性;Riesz表示定理;Lax-Milgram定理

一、一般散度型线性椭圆方程：

（1.1）

其中且方程（1.1）满足一致椭圆条件，即存在常数使得

.

这时方程（1.1）为一致椭圆型方程，本文只讨论方程（1.1）的带齐边值条件

（1.2）

的Dirichlet问题弱解问题的证明方法.

2.1Riesz表示定理：设F为Hilbert空间H上有界線性泛函，则存在唯一的使得其中为空间H中的内积。

例1：证明Dirichlet问题弱解的存在性。

证明：

设令，对于任意.有

即.

又

取

有

综上有，即两种范数是等价的，带有新内积空间记为，令，则为上的有界线性泛函.

证明如下：事实上

即F为上的有界线性泛函.故按Riesz表示定理，存在唯一的成立.

2.2定理：设为空间H上有界强制的双线性型，则对H上任一有界线性泛函F，恒存在唯一的，使得

且有估计

例2：存在常数c0，使得当c≥c0时，对任何，问题存在唯一弱解

证明：

令

，

事实上：

同理可证：，由此证明为双线性型的。

由

由此证明是有界的。

有，

，

此时取则对某常数，有，即是强制的。

事实上，

有定理，

即积分恒等式成立，即为的弱解。

本文利用Riesz表示定理和Lax-Milgram定理证明了一致椭圆型方程解的存在，本文所使用的证明方法简洁，可为以后的有关研究提供参考的方法.

参考文献

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作者简介：王蕊、曲莉;出生年：1995年;性别：女;民族：汉族;籍贯：吉林四平;学历：在读研究生;单位：吉林师范大学;研究方向：应用数学偏微分方程