深度剖析问题，引导学生自主探究

童永芳

摘  要：以2019年中考浙江杭州卷第23题为例，通过分析解题思路，赏析有代表性的几种解法，深度剖析试题中给出的条件，挖掘结论中隐藏的本质，以达到锻炼学生的思维、培养学生的创新意识的目的，发挥中考试题教育教学的价值.

关键词：中考试题;解法赏析;深度剖析;自主探究

2019年中考浙江杭州卷第23题以圆为背景，利用圆的轴对称性，结合垂径定理、圆心角、圆周角及弧之间的关系来探究系数之间的关系. 本文通过分析此题的解题思路，深度剖析试题的条件，与读者分享层层递进、深度探究的过程.

一、试题呈现

题目 （2019年浙江·杭州卷）如图1，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA.

（1）若∠BAC = 60°，

① 证明： [OD=12OA].

② 当OA = 1时，求△ABC面积的最大值.

（2）点E在OA上，OD = OE，连接DE，设∠ABC = m∠OED，∠ACB = n∠OED（m，n是正数）. 若∠ABC<∠ACB，求证：m - n + 2 = 0.

二、思路分析

第（1）小题中，由圆周角为60°能得到对应的圆心角为120°，在半径、半弦和弦心距组成的三角形中能得到OD与半径及弦BC的关系. 在△ABC中，知道边BC的长，只要边BC上的高取到最大值时，就可以求出△ABC面积的最大值.

第（2）小题中，将锐角三角形ABC中的∠ABC和∠ACB分别用∠OED的倍数关系m，n来表示，在给定OD = OE和∠ABC<∠ACB的条件下探索m，n的关系，用图形的性质去探索代数之间的关系. 显然，只需要弄清楚图形中角的位置及大小关系，然后建立等量关系，就能得到代数之间的关系.

由于第（1）小题的思路及解法比较简单，故本文只探讨第（2）小题的解法.

三、解法赏析

视角1：利用代数思想，找等量关系，建立方程解题.

解法1：如图2，连接OB，OC.

设∠OED = ∠ODE = α，∠COD = ∠BOD = β，

由∠AOC + ∠AOB + 2∠BOD = 360°，∠OED + ∠ODE + ∠EOD = 180°，

建立方程组[m+nα+β=180°，2m+1 α+β=180°.]

整理，得m - n+2 = 0.

解法2：如图3，连接OB，OC，延长DO交AB于点G，作OF⊥AC，垂足为点F.

设∠OED = ∠ODE =[α]，

得∠AOF = mα，∠GOE = 2α，∠ACB = nα.

由∠ODC = ∠OFC = 90°，

得∠DOF + ∠ACB = 180°.

所以∠GOF = ∠ACB.

所以mα + 2α = nα.

整理，得m - n + 2 = 0.

解法3：如图4，连接OB，OC，延长AO交BC于点G.

设∠OED = ∠ODE = α，

则∠ABC = mα，∠BAG = 90° - nα，∠GOD = 2α.

由∠OGD为△ABG的外角，

得∠OGD = ∠ABD + ∠BAG = mα + 90° - nα.

在Rt△OGD中，有∠OGD = 90° - ∠GOD.

所以mα + 90° - nα = 90° - 2α.

整理，得m - n + 2 = 0.

解法4：如图5，连接OB，OC，延长DO交AB于点G.

设∠OED = ∠ODE = α，

则∠ABC = mα，∠GAO = 90°-nα，∠AOG = 2α.

由∠AGD为△BDG的外角，

得∠AGD = ∠ABD + ∠BDG.

在△AGO中，[∠AGD=180°-∠AOG+∠GAO]，

所以[90°+mα=180°-2α+90°-nα].

整理，得m - n + 2 = 0.

事實上，只要抓住此题中给出的等量关系OD = OE，∠AOC = 2∠ABC，∠AOB = 2∠ACB，且OD⊥BC，用含m，n，α的代数式表示相关的量，再利用合适的等量关系建立方程就可以找出它们之间的关系.

视角2：利用角平分线、等腰三角形的基本性质解题.

解法5：如图6，连接OB，OC，延长OD交⊙O于点F，连接AF.

因为OD⊥BC，

所以点F平分[BC].

所以AF平分∠BAC.

所以∠OAC - ∠OAB = 2∠OAF.

由OE = OD，OA = OF，得DE∥AF.

所以∠OED = ∠OAF.

由OA = OC = OB，

得[∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC].

所以[∠AOB-∠AOC=2∠OAC-∠OAB].

由于∠ACB - ∠ABC[=12∠AOB-∠AOC]= ∠OAC - ∠OAB = 2∠OAF，

得[n-m=][∠ACB-∠ABC∠OED=][2∠OAF∠OAF=][2].

整理，得m-n+2 = 0.

与前面几种解法相比较，解法5中没有设未知数，只是利用几何图形中的性质关系进行解题. 虽然解题过程不是那么简单，但是揭示了题目变化中的不变量的本质关系，其来源于两个等腰三角形顶角之差等于底角之差的两倍，解法十分微妙.

视角3：利用圆的基本性质解题.

解法6：如图7，延长DO，交⊙O于点F，

设∠OED = ∠ODE = α，

则[∠AOF=2α].

因为[BF=CF]，

所以[AB-AF=AC+AF]，

即2nα -2α = 2mα + 2α.

整理，得m - n+2 = 0.

综上，在圆中探究系数之间的关系，可以从结论出发，转化为探究∠ABC，∠ACB及∠OED之间的关系，然后利用圆的轴对称性，结合垂径定理、圆心角、圆周角及弧之间的关系来证明.

四、深度剖析

此题中除了结论值得探究，题目中给出的条件也值得我们进行深度思考.

思考1：题目的已知条件中“∠ABC<∠ACB”的含义是什么？没有这个条件会产生怎样的结论？

显然，根据条件∠ABC = m∠OED，∠ACB = n∠OED，可知∠ABC与∠ACB的大小决定着m与n的大小.“∠ABC < ∠ACB”表示m

思考2：题干中的条件“锐角三角形ABC”起着怎样的作用？如果没有这个条件又会怎样？

如图9，延长CO，BO，分别交⊙O于点M，N，则∠MBC = ∠NCB = 90°. 当点A在[CN]上运动时，∠ACB为钝角. 当点A在[BM]上运动时，∠ABC为钝角. 当点A在[BC]上运动时，∠BAC为钝角. 结合条件“∠ABC<∠ACB”，显然，可以发现点A只能在[GN]之间. 那么，试题中如果没有“锐角三角形ABC”这个条件，会产生怎样的结果呢？

当∠ACB为钝角时，即点A在[CN]上，可以得到结论m - n+2 = 0.

当∠ABC为钝角时，即点A在[BM]上，可以得到结论n - m + 2 = 0. 符合思考1得出的结论.

如图10，当∠BAC为钝角时，即点A在[BC]上，且在OD所在直线的右侧，延长DO，交⊙O于点F，连接AF，过点D作DI⊥AF，则可以推出点E在线段DI上，即证明DE⊥AF，所以∠OED + ∠OAF = 90°. 由此得到[n-m=][290°-∠OED∠OED]，即[n-m+2=180°∠OED]. 此时，原来的结论并不成立，n - m + 2的值关于∠OED成反比例关系. 同理，当点A在[BC]上，且在OD在直线的左侧时，可以得到结论m - n + 2 =[180°∠OED].

思考3：题目中的条件“OD = OE”，说明△OED是一个等腰三角形，且确定了两腰. 若没有确定两腰，直接给出条件“△OED是一个等腰三角形”，显然会产生另外两种结论，其结论是否与原结论相通？

结合思考1和思考2可知，在没有条件限制的情况下，点A可以在整个圆弧上运动.

当OD = OE时，将∠OED的度数转换成弧度，以该弧度为自变量x，m - n + 2的值y为因变量. 当点A在OD所在直线的右侧时，函数图象如图11所示，一段为定值，一段为类似反比例函数图象的一部分;当点A在OD所在直线的左侧时，函数图象如图12所示，一段为定值，一段为反比例函数图象，符合思考2的结论.

当DO = DE或EO = ED时，如图13和图14所示，同样以∠OED的弧度数为自变量，m - n + 2的值为因变量作出函数图象，其结果都是一段为定值，一段为反比例函数图象的一部分，与OD = OE时的结果类似.

综合以上分析，在OD = OE的前提下，∠ABC与∠ACB的大小决定着m，n的大小，故舍弃该条件，只需利用[m-n]来体现结论. 当∠BAC为钝角时，[m-n-][2]的值与∠OED的值成反比例关系，比例系数为180°;当∠BAC为锐角时，[m-n-2=0]，是一个定值. 而若仅仅要满足m - n + 2 = 0，点A可以在[GC]上，为了防止学生对题目的第（1）小题进行不必要分类（思考∠ABC与∠ACB是不是钝角），故此题在题干中添加“锐角三角形ABC”的条件，同时，在第（2）小题中添加“∠ABC<∠ACB”的条件. 自此，点A仅在[GN]上运动. 若当DO = DE或当EO = ED时，m - n + 2的值是定值或与∠OED成反比例关系.

五、反思

探究性学习指学生在学科领域内或现实生活情境中选取某个问题作为突破点，通过质疑发现问题，通过分析研讨解决问题，通过表达与交流等活动获得知识、掌握方法. 探究以问题为导向，问题的提出源于仔细观察、深度剖析.

问题从何而来？从什么角度去分析？本文的研究思路给学生做了示范. 题目中的结论和每个条件都是探究的突破口. 中考試题凝聚了命题者的心血，内涵丰富. 在解题教学中，教师要引导学生对典型的中考试题进行深度探究，并对问题提出新的猜想，进而提高学生学习数学的兴趣，激发学生热爱探究的精神，培养学生勇于创新的意识.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]王红梅. 基于模型思想的解法探究：从2017年杭州市中考数学第10题说起[J]. 中学数学教学参考（中旬），2017（11）：37-39.