立足教材习题 凸显核心素养

季春龙 陈德前

摘  要：2019年中考江苏泰州卷第16题是由教材习题改编而成. 在核心知识交会处设计，诠释了“题在书外，根在书内”的命题原则，体现了中考命题的公平性. 通过构造不同的几何模型，可以得到多种解法，考查了学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模等数学学科核心素养. 文章通过对该试题的研究，得到在教学中应提炼通性、通法，不断提升学生探索能力的教学启示.

关键词：习题改编;特色解读;教学启示

一、试题呈现

题目 （2019年江苏·泰州卷）如图1，[⊙O]的半径为5，点P在[⊙O]上，点A在[⊙O]内，且[AP=3，] 过点A作AP的垂线交[⊙O]于点B，C. 设[PB=x，] [PC=y，] 则y与x的函数表达式为________ .

二、试题解读

1. 素材——根在书内，巧妙变式出新题

此题是2019年中考江苏泰州卷第16题，是填空题的最后一题. 它取材于苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）九年级下册第6章“图形的相似”习题6.4的第14题，在此称为“源题”.

源题  如图2，[△ABC]是[⊙O]的内接三角形，AD是[△ABC]的高，AE是[⊙O]的直径. [△ABE]与[△ADC]相似吗？为什么？

相对于源题中的图形，题目中的图形隐藏了一些线段，使得图形的模型特征不明显;改变了图形中一些元素的屬性，将静态问题变成了动态问题;给出了图中有关线段的数量（有常量，有变量），将几何与函数有机地进行结合;变换了命题的叙述方式，呈现给学生一道以圆为背景的函数填空题. 由此可见，这道中考试题充分发挥了教材习题的功能，减少了学生解题时的陌生感，体现了公平公正的命题原则，诠释了“题在书外，根在书内”的中考命题理念. 此题为中考试题回归教材，取之教材，变式拓展、优化组合教材中的例题和习题打开了一扇窗，为教师如何参与研发教材、拓展教材、挖掘教材中知识的“生长点”“综合点”“延伸点”树立了风向标，值得教师认真钻研、仔细体会、自觉实践.

2. 指向——凸显核心，交会之处考素养

根据中考命题的要求，综合题的设计必须突出数学本质、紧扣核心知识，在核心知识的交会处设计试题，考查学生的数学学科核心素养.

此题题干简约、内涵丰富. 题目以圆为载体，重视对基本图形的理解和线段关系的转化，涉及圆、相似三角形、反比例函数、三角函数等知识，关注对数学基础知识、基本技能、基本方法（如由三角形相似得到线段成比例的通性、通法等）和基本经验（如圆中常用辅助线的添加等）的考查，较好地突出了数学学科的本质.

此题立意新颖、融合自然. 它将动点隐含在其中，使得几何与函数知识紧密融合在一起，既有别于圆中常见的计算推理问题，又有别于函数中用待定系数法求函数解析式问题. 解题的关键是如何通过圆中线段的计算与推理将自变量与因变量有机关联，这往往需要借助全等、相似、三角函数、添加辅助线等方式，进而有效地考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学模型等数学学科核心素养.

此题凸显思想、关注衔接. 解决此题涉及数形结合、方程、转化、建模等数学思想. 题目中已知圆内接三角形[PBC]的两条边（PB和PC）、第三条边上的高（AP）和圆的半径（直径），要求两条边（PB和PC）之间的函数关系式，学生很容易联想到如何去建立这四个量之间的关系，顺利实现“形”与“数”的有效转化. 而要建立这个关系，容易联想到相似三角形的基本模型，这样需要添加的辅助线就应运而生. 学生根据几何直观得到不同的图形背景，通过添加不同的辅助线来构造、完善基本图形，再利用基本图形的性质及相关的数学原理列出方程，适当变形即可解决问题. 在之后的高中学习中，常常有学生对利用三角形的外接圆来证明正弦定理感到困惑，这里添加辅助线的方法可以为高中学习打下坚实的基础.

3. 解法——思路多元，各显神通构模型

严士健在《面向21世纪的中国数学教育》一书中指出，数学建模是解决各种问题的一种数学的思考方法. 借助直观想象感知图形的位置关系、形态变化与运动规律，建立起“数”与“形”的联系，构建出基本图形是解决几何问题的基本方法，是学生必备的数学素养. 由于学生思考角度的不同，构造的基本图形也不尽相同，进而可以得到不同的解法. 此题多种解题思路的探索都是立足于常见的基本图形（直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的性质、三角函数等），寻找与构造基本图形自始至终是思维的主旋律，这使得解题思路豁然开朗，多种解法自然生成. 现对一些主要解法加以介绍.

思路1：添加直径，构造相似三角形.

题目中有[PA⊥BC]的条件，则必有直角三角形，要构造相似三角形，结合半径这个已知条件，自然联想到“直径所对的圆周角是直角”这个基本性质，添加直径为辅助线的想法油然而生. 由于过三角形的三个顶点均可作出直径，因此就产生了不同的解法.

分析：通过作直径，证明两个直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得出y与x的函数表达式.

解：如图3，连接PO并延长交[⊙O]于点N，连接BN.

因为PN为[⊙O]的直径，

类似地，有如下几种添加辅助线的作法.

如图4，连接PO并延长交[⊙O]于点N，连接CN，证明[△PBA∽△PNC.]

如图5，连接BO并延长交[⊙O]于点N，连接PN，证明[△PBN∽△APC.]

如图6，连接CO并延长交[⊙O]于点N，连接PN，证明[△PAB∽△CPN.]

思路2：添加半径，构造相似三角形.

题目中有[PA⊥BC]的条件，则必有直角三角形，要构造相似三角形，由已知易联想到由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形. 因此，想到添加半径，过圆心作弦心距. 由于过三角形的三个顶点都可以作半径，因此，也可以得到不同的解法.

分析：通过作半径，证明两个直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得出y与x的函数表达式.

解：如图7，连接PO，OC，过点O作[ON⊥PC]于点N.

类似地，有如下几种添加辅助线的作法.

如图8，连接PO，过点O作[ON⊥PB]于点N，证明[△PON∽△PCA.]

如图9，连接CO，过点O作[ON⊥PC]于点N，证明[△CON∽△PBA.]

如图10，连接BO，过点O作[ON⊥PB]于点N，证明[△BON∽△PCA.]

思路3：利用直角，构造锐角三角函数.

分析：在思路1的图3中，研究的四个量分别在两个直角三角形中，且已知“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”的基本性质. 因此，可用锐角三角函数模型来解决.

解：如图11，连接PO并延长交[⊙O]于点N，连接BN.

同样，在图4 ～ 图10中，都可以用思路3的方法来进行求解. 此外，还可以用面积法来进行求解.

三、教学启示

1. 发挥教材习题的作用，提炼掌握通性、通法

教材中的例题和习题都是经过教材编写者精心选择的，具有典型性和代表性，不仅反映了相关知识的本质属性，而且蕴含着重要的基本方法，对培养学生的能力，使其形成数学学科核心素养有着极为重要的作用. 因此，教师应站在方法论的高度去认识教材中的例题和习题，充分挖掘、提炼其中蕴含的基本方法，并在教学中引导学生进行广泛应用，进而形成解决数学问题的通性、通法，真正地做到题尽其能、题尽其用. 例如，前述源题，由[△ABE∽△ADC，] 易得[AB ⋅ AC=AD ⋅ AE，] 即三角形两条边的积等于第三条边上的高与外接圆直径的积. 反过来，如果给出[AB ⋅ AC=AD ⋅ AE]的结论，如何证明[△ABE∽△ADC]呢？其一般方法是先将等积式转化为比例式（即转化为[ABAD=AEAC]），再根据比例式确定相似三角形，然后寻找两个三角形相似的条件. 而确定两个三角形相似的通用方法是“三点定形法”，即可以横向定形（图2中的[△ABE]和[△ADC]），也可以纵向定形（图2中的[△ABD]和[△AEC]）. 题目解答的思路1就是按照这种方法来确定相似三角形，进而得到不同的解法.

在证明线段乘积式时常用到等量代换，在研究教材中源題的解法时，可以引导学生利用同圆的直径相等进行等量代换，寻找解题途径;也可以由直径与半径的关系、垂径定理的结论联想到将有关线段折半，等量代换后构造新的相似三角形. 题目解答的思路2正是利用这种等量代换而得到多种解法的.

由于锐角三角函数是在相似三角形基础上研究的，因此当乘积式中的四条线段分别是两个直角三角形中的对应边，且两个直角三角形中有相等的锐角时，可利用锐角三角函数巧妙得到线段比例式，进而得到一种创新解法，题目解答的思路3便是这样产生的. 当学生在探索教材中习题解法的基础上，提炼并掌握了这些通性、通法，那么在面对新问题时，就会手中有法、心中不慌、多中选优、能力增强. 通过一题多解，能够使得学生的知识体系更加系统化，思维的发散性和灵活性大幅度提高，从而不断发展数学学科核心素养.

2. 研究教材习题变式拓展，不断提升探索能力

许多中考试题都是命题者通过对教材习题进行变式、综合、拓展而成的，源于教材、活于教材、又高于教材，在思想方法上具有类比迁移和拓展探究性. 这就启发教师在日常教学中要发挥教学智慧，创造性地使用教材，引导学生深度研究教材习题，重视对教材习题进行改编、演变、组合、拓展等“再创造”，使学生在习题变式拓展中感受由特殊到一般、由静态到动态、由简单到复杂的变化过程，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，潜移默化地学会发现问题、提出问题、分析问题和解决问题. 通过这种数学活动经验的积累，用以指导今后的学习与探究活动，从而有效提高学生的学习效率和探究能力，发展学生的数学学科核心素养. 例如，教师引导学生对教材中源题进行变式拓展，可以得到以下几种不同的几何问题.

分析1：从前文的分析可知，只要保持[∠ABE]与[∠ADC]的相等关系不变，仍有[AB ⋅ AC=AD ⋅ AE]的结论.

变式1：如图12，[△ABC]内接于[⊙O，] 点D在BC上，点E在[BC]上，且[∠ABE=∠ADC.] 求证：[AB ⋅ AC=][AD ⋅ AE.]

分析2：若点D在BC（或CB）的延长线上，点E在[AB]（或[AC]）上，结论[AB ⋅ AC=AD ⋅ AE]仍成立.

变式2：如图13，[△ABC]内接于[⊙O]，点D在BC的延长线上，点E在[AB]上，且[∠ABE=∠ADC.] 求证：[AB ⋅ AC=AD ⋅ AE.]

分析3：若AD与AE重合，点A，E在点D的同侧时，则有变式3;点A，E在点D的异侧时，则有变式4.

变式3：如图14，[△ABC]内接于[⊙O，] [∠BAC]的外角平分线交BC的延长线于点D，DA的延长线交[⊙O]于点E. 求证：[AB ⋅ AC=AD ⋅ AE.]

变式4：如图15，[△ABC]内接于[⊙O]，[∠BAC]的平分线与BC交于点D，与[⊙O]交于点E. 求证：[AB ⋅ AC=AD ⋅ AE.]

分析4：在图15中，考虑到[AB ⋅ AC=AD ⋅ AE=AD ⋅][AD+DE=AD2+AD ⋅ DE=AD2+BD ⋅ DC，] 由连等式首尾两式知，所涉及的线段都是[△ABC]中的线段，故可以去掉圆的“外衣”，则有变式5.

变式5：如图16，在[△ABC]中，AD是角平分线. 求证：[AB ⋅ AC-BD ⋅ CD=AD2.]

分析5：在图15中，由[△ABE∽△ADC∽△BDE，]易得[BE2=ED ⋅ EA.] 由变式4容易得[AB ⋅ AC+BE2=][AD ⋅ EA+DE ⋅ EA=AE2，] 则有变式6.

變式6：如图17，在圆内接四边形ABEC中，有[BE=CE.] 求证：[AE2=AB ⋅ AC+BE2.]

分析6：在图17中，易知AE经过[△ABC]的内心，再结合[BE=CE，] 则有变式7.

变式7：如图18，[△ABC]内接于[⊙O]，点I为[△ABC]的内心，[∠A]的平分线与[⊙O]交于点E. 求证：[EI=BE=EC.]

分析7：考虑变式7的逆命题，则有变式8.

变式8：如图18，[△ABC]内接于[⊙O，] AD平分[∠A，] 且交BC于点D，交[⊙O]于点E，点I是AE上的一点，[EB=EI.] 求证：点I为[△ABC]的内心.

分析8：在变式7中，易证[△ABE∽△BDE，] 易得[EI2=EB2=ED ⋅ EA，] 则有变式9.

变式9：如图18，点I是[△ABC]的内心，AI的延长线交BC于点D，交[△ABC]的外接圆于点E. 求证：IE是AE和DE的比例中项.

分析9：若对教材中源题的角赋予特殊值，则有变式10，即 2019年中考安徽卷第13题.

变式10：如图19，[△ABC]内接于[⊙O，] [∠CAB=30°，][∠CBA=45°，CD⊥AB]于点D. 若[⊙O]的半径为2，则CD的长为________ .

3. 积累常用基本模型，灵活运用引领思维

数学建模是数学学科核心素养之一，实际上，数学教学就是教给学生前人构建的一个个数学模型，使学生逐步养成用数学模型思维的过程. 一个模型或一句话，简单明了、平实无奇，但就是这样的一个常规语境，却能把学生的思维引向深处. 学生只要熟悉模型，就很容易找到解题思路. 回顾上述各种解法，我们发现用到了圆的基本性质（圆心角定理、圆周角定理、垂径定理等）、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等. 再来观察图形，我们可以把源题的图形分解成如图20所示的基本模型（基本概念或基本定理所对应的图形）.

图20（1）反映了圆中直径的有关性质;图20（2）反映了同弧所对的圆周角相等;图20（3）反映了圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;图20（4）反映了三角形的高的有关性;图20（5）反映了两个相似的直角三角形;图20（6）反映了有公共边的两个相似三角形. 学生掌握了这些基本模型及其性质，就可以很快地找到解决问题的途径. 解决几何综合题，就是将复杂的图形分解为基本模型或构造出基本模型. 学生只要掌握一些常用重要的基本模型及其性质，并以它们为基础，将其运用到综合题中去，问题也就迎刃而解了. 因此，在日常的教学中，教师首先要有模型意识，要知道什么是数学基本模型，初中学段中有哪些常见的数学基本模型，这些基本模型一般在哪些领域中应用. 在此基础上，结合有关知识的教学，引导学生从中提炼出常用的基本模型，并通过典型问题帮助学生学会灵活运用基本模型来分析问题、解决问题，提出新问题，探究新结论，逐步提高学生由模型联想问题和由问题联想模型的双向联想能力. 这样，学生的数学思维能力就会不断引向深入，数学学科核心素养就会不断得到提升.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]陈德前. 一道江苏省泰州市中考试题赏析[J]. 中国数学教育（初中版），2015（9）：57-60.

[3]季春龙，陈德前.“折”出新精彩 “展”出新天地：对一道中考数学实验试题的赏析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（10）：30-33，42.

收稿日期：2020-09-08

基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划课题——苏科版初中数学教材小结与思考的设计价值与使用策略研究（D/2020/02/232）;

江苏省教育科学“十三五”规划课题——指向深度学习的初中数学校本作业实践研究（D/2020/02/240）.

作者简介：季春龙（1966— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学及中考命题研究.