大道至简 点线同源

宋春 刘金英 赵国华

摘  要：网格中的几何作图问题是近几年中考天津卷探索的新题型，具有立意新颖、综合性强、思维含量高等特点，能较好地考查学生的数学学科核心素养. 文章以2020年中考天津卷第18题为载体，透过学生熟知的几何模型，寻源头、探解法，反思其中蕴含的道理.

关键词：网格作图;解法研究;尺规作图;图形变换

2020年中考天津卷第18题是一道有关无刻度直尺的网格作图题，是一道创新题，思维含量高，灵活性强，区分度较高. 此题既考查了学生利用网格构图、综合运用数学知识解决问题的能力，又考查了点的位置的确定方法. 同时，有效地考查了学生理解数学语言，并准确运用数学语言表述作图过程的能力.

一、试题呈现

题目 （2020年天津卷）如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，[△ABC]的顶点[A，C]均落在格点上，点[B]在网格线上，且[AB=53].

（1）线段[AC]的长等于________ ;

（2）以[BC]为直径的半圆与边[AC]相交于点[D，] 若点[P，Q]分别为边[AC，BC]上的动点，当[BP+PQ]取得最小值时，试用无刻度的直尺，在如图1所示的网格中，画出点[P，Q，] 并简要说明点[P，Q]的位置是如何找到的（不要求证明）________ .

此题体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》对作图的要求：在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹. 同时，考查了学生通过网格综合运用数学知识解决问题的能力，属于“综合与实践”的范畴. 试题虽小，却蕴涵着较高的思维内涵和深入研究的价值，为后续教学中教师的教和学生的学提供了极好的素材.

网格作图问题承载着几何直观能力、发现与探究能力、逻辑推理与合情推理能力、计算能力、转化能力等，同时，蕴涵着数形结合、数学建模等数学思想，是中考命题的热点之一.

网格作图问题有以下优点：第一，有利于考查图形与变换的性质;第二，有利于考查图形与直观;第三，有利于考查学生的综合与实践能力;第四，有利于考查学生的逆向思维能力;第五，有利于命题者打磨出精品试题;第六，有利于数学学科核心素养在网格问题中的落地.

二、试题研究

1. 探解法，变换角度寻路径

第（1）小题，通过勾股定理即可求出线段AC的长. 第（2）小题是“单定点 + 双动点”借助网格作线段长之和最小的问题. 通过作点B关于直线AC的对称点[B′，] 再过点[B]作BC的垂线，且与AC的交点为P，垂足为点Q，即可找到点P，Q的位置. 解決问题的工具限定用无刻度的直尺，借助网格完成作图，同时增加了半圆的背景，进一步提升了作图方法的多样性、灵活性、可操作性等.

第（1）小题中， 求得[AC=13.] 第（2）小题的作法与分析如下.

作法1：借助网格作线段长之和最小的问题.

如图2，取格点[A′，C′，] 连接[A′C′，] 连接BD并延长，与[A′C′]相交于点[B′;] 连接[B′C，] 与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接[BP]并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求.

限于篇幅，现仅对第（2）小题中作出点B关于直线AC的对称点[B]的作法加以推介，之后的步骤同作法1.

作法2：借助平行线分线段成比例定理作对称点.

分析：连接BD. 因为BC为半圆的直径，所以[BD⊥AC.] 要作点B关于直线AC的对称点[B′，] 只需在BD的延长线上截取[DB′=DB]即可.

如图3，取格点[A′，C′，] 连接[A′C′，BC′，] 连接BD并延长，与[A′C′]相交于点[B.] 线段[AC]与网格线相交于点[B，] 点[B]恰好在线段[BC]上，且[BB=BC.] 因为[AC∥AC]，则点[B]是点B关于直线AC的对称点.

类似地，如图4，在网格线上作出[AM=CN=53，] 来确定点[B]的位置.

或者，如图5，在网格线上作出[MM=23，] 易证[MM∶MN=2∶3.] 连接BD并延长，与直线MN的交点即为点[B.]

或者，如图6，过点B作水平线[BN，] 与AC相交于点K，易得[BK=KN=52，] [GF=13.] 取格点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点[N，] 易证[GC∶GN=][2∶3.] 易得[NC∥AC.] 连接BD并延长，与[NC]的延长线的交点即为点[B.]

作法3：构造角平分线作轴对称点.

分析：由于角平分线所在直线是角的对称轴，如图7，只需作[∠3=∠1.] 因为[∠1=∠2，] 所以[∠2=∠3.] 所以[KA=][KC.] 又因为[OA=][OC，] 所以[∠COK=90°.] 由图7易证[△CON∽][CKO，] 可得[NK=ON2CN=94.] 所以[KH=14.]

如图7，取格点E，F，连接EF交网格线于点K. 连接BD并延长，与AK相交的点即为点[B.]

类似地，如图8，[OK]的延长线交网格线于点[K，] 易得[KK=12.] 从而得到[∠2=∠3.]

如图8，取格点E，F，连接FE并延长，与网格线相交于点[K，] AC与网格线相交于点[O，] 连接[OK]，交[CK]于点K. 连接BD并延长与AK相交的点即为点[B.]

或者，如图9，只需作[∠2=∠1，] 点[O]在[OK]上，易得[∠2=∠3.] 所以[∠3=∠1.] 于是，作[AH∥BC]即可.

如图9，取格点F，G，M，连接FG交网格线于点H，连接GM并延长与网格线相交于点[K，] 连接[OK]交AH于点[O.] 连接[CO]，连接BD并延长，与[CO]的延长线的交点即为点[B.]

作法4：通过双轴对称作对称点.

如图10，先作点W关于直线AC的对称点I，再作点B关于直线AC的对称点[B.]

如图10，取格点W，[W，A，C，] 连接[WW，AC，] 交点为点I，连接AI，连接BD并延长，其与AI的交点即为点[B.]

类似地，如图11，先作点E关于直线AC的对称点[E，] 再作点B关于直线AC的对称点[B.]

如图11，取格点E，F，[A，C，] 连接[EF，AC，] 交点为点[E]，连接[AE，] 连接BD并延长，与[AE]的延长线交点即为点[B.]

作法5：先算后作新发现.

如图12，在图10的基础上，AC为线段WI的中垂线. 过点I作[IH⊥WC]于点H，易求得[AC=13，] [CE=][91313，] [WE=61313，] [WI=121313.] 利用等面积法，可得[IH=3613.] 由勾股定理，可得[WH=2413，] [HC=1513.] 所以[tan∠HCI=][125.] 因为 A，W，C，I四点共圆，可得[∠IAA=][∠HCI.] 所以[tan∠IAA=125.]

因此，在图13中，[tan∠NAN=125，] 易得[NN=25.] 则射线AN与射线AB关于直线AC成轴对称.

如图13，取格点E，F，连接EF，与网格线相交于点N，连接AN，连接BD并延长，与AN相交的点即为点[B.]

作法6：脱离半圆作轴对称点.

如图14，利用网格作[NN=25，] 再作[AB=AB=53.]在[Rt△ANN]中，易求得[AN=135， ABAN=2539，] 則[ABBN=][2514，] 于是，作出[AI=52， NJ=75]即可确定点[B]的位置.

如图14，取格点E，F，连接[EF，] 与网格线相交于点G;取格点H，连接HG，与网格线相交于点N;取格点[N，] M，J，连接[NM，] 与网格线相交于点I，连接IJ，与AN的交点即为点[B.]

作法7：借助平移作对称点.

如图15，先作点W关于直线AC的对称点I，直线AC是WI的垂直平分线，再过点B作WI的平行线，即可确定点[B.]

如图15，取格点[A，C，W，W，B，] 连接[AC，][WW，AB，AC]与[WW]相交于点I，[AB]与网格线相交于点[B，]连接[BB，] 与AI的交点即为点[B.]

作法8：用解析法求特殊点的坐标.

如图16，以点A为原点建立平面直角坐标系，得到点A[0，0，] 点B[0，-53，] 点C[3，-2.] 则可得直线AC的解析式为[y=-23x，] 直线BD的解析式为[y=][32x-53.]

如图16，点D是直线AC与直线BD的交点，易求得点[D1013，-2039，] 点[B][2013， 2539.] 则直线[AB]的解析式为[y=512x.] 易得点N[125，1，] 点K[3， 54，] 点[B][2， 43.]

直线[AB，BB]与网格线的交点易于找到，这种方法虽然计算量大，但点的位置确定准确.

综合以上作法，突出了几何变换在网格问题中的作用. 在网格中，要确定一个点，需要确定两条直线的位置，依托于全等、相似、线与线的相对位置、图形的基本性质等，让学生有“抓手”，会利用网格作垂直、平行，构造相似与全等，将单位长度的线段n等分. 试题增加了圆的背景，使问题更灵活、方法更多样、思维空间更广阔，更能考查学生综合解决问题的能力. 作法8突出了网格的坐标功能，适当建立平面直角坐标系，利用直线的解析式求出特殊点的坐标. 代数方法与几何方法各有千秋，相互依托.

2. 悬空点平移，另辟蹊径

因为点B的对称点[B]的位置在格点内部，无法借助网格直接构造垂线，所以确定点Q的位置难度较大. 转化方法很关键，需要两个易于确定位置的点，确定直线的位置. 此题还可以将点[B]平移，找到过点[B]的两条线段.

如图17，将与点B关于直线AC的对称点[B]相关的点[A，K，A，T]均向下平移3个单位长度，再向左平移[13]个单位长度得到[A，K，A，T，] 连接[AK，][ AT]，相交于点H，连接[BH]分别与AC，BC相交于点P，Q.

三、进一步思考

1. 网格可以提供解决几何问题的多种途径

在网格背景下研究平面图形. 一方面，保留了图形自身的几何特性;另一方面，网格自身的位置及数量的特殊性，赋予了图形一些特殊关系，进而使图形的一般几何性质得以特殊化和数量化. 网格作图给学生提供了多角度探究问题的方法，由于构图时可以选用网格中的特殊点，为学生拓展、创新搭建了平台，进而可以通过图形的旋转、平移、翻折、位似变换来构图，也可以先作后证，还可以根据图形的特点及运算的需要，在网格中建立平面直角坐标系，用解析法确定点的位置、直线的位置等.

2. 网格可以考查学生运用数学的综合能力

在知识层面上，此题主要考查了勾股定理、成比例线段、相似三角形、全等三角形、垂直平分线的性质、平行四边形的性质等;在技能层面上，主要考查了学生的计算能力、作图能力和推理能力，其核心是构造全等三角形，作出平行和垂直;在基本思想方法上，主要考查了数形结合、几何直观、化归思想、函数思想等.

3. 网格可以搭建培养创新思维的广阔舞台

在解题探究的过程中，引导学生探索数学问题的规律和方法、积累解题经验、回归数学本质，有利于提高学生的解题能力，提升学生的数学学科核心素养. 波利亚曾说过，掌握数学就意味着善于解题. 笔者认为，解题素养源于数学素养，尤其是数学学科核心素养. 本文中的多种解法都源自于一个简单的道理借助点共线可以确定线的位置，借助线共点可以确定点的位置，可以简化成两点定一线、两线定一点、点线同源. 道理是极其简单的，简单是厚积薄发的力量，学会了简单，其实不简单.

参考文献：

[1]宋春，刘金英，赵国华. 小网格  大舞台：以2018年天津市中考网格作图题的研究为例[J]. 中国数学教育（初中版），2018（10）：43-46.

[2]刘金英，顾洪敏，李兴梅. 求真·求实·求发展：谈2015年中考数学基础复习[J]. 中国数学教育（初中版），2015（1 / 2）：5-23.

收稿日期：2020-08-03

作者简介：宋春（1969— ），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学及中考命题研究.